Question

某水果店销售某中水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y₁（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）的变化趋势，每千克成本y₂（元）与销售时间第x月满足函数关系式y₂=mx²﹣8mx+n，其变化趋势如图2．

（1）求y₂的解析式；
（2）第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

(1) y₂=x²﹣x+（1≤x≤12）；(2) 第3月销售这种水果，每千克所获得利润最大，最大利润是元/千克．

试题分析：（1）把函数图象经过的点（3，6），（7，7）代入函数解析式，解方程组求出m、n的值，即可得解；
（2）根据图1求出每千克的售价y₁与x的函数关系式，然后根据利润=售价﹣成本得到利润与x的函数关系式，然后整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答即可．
试题解析：（1）由图可知，y₂=mx²﹣8mx+n经过点（3，6），（7，7），
∴，
解得．
∴y₂=x²﹣x+（1≤x≤12）；
（2）设y₁=kx+b（k≠0），
由图可知，函数图象经过点（4，11），（8，10），
则，
解得，
所以，y₁=﹣x+12，
所以，每千克所获得利润=（﹣x+12）﹣（x²﹣x+）
=﹣x+12﹣x²+x﹣
=﹣x²+x+
=﹣（x²﹣6x+9）++
=﹣（x﹣3）²+，
∵﹣＜0，
∴当x=3时，所获得利润最大，为元．
答：第3月销售这种水果，每千克所获得利润最大，最大利润是元/千克．
【考点】二次函数的应用．