Question

5．如图，在平面直角坐标系中画出了函数y=ax²+c的图象．
（1）根据图象求a，c的值．
（2）在图象中画出函数y=x+1的图象；
（3）利用图象求x的取值范围，使函数y=ax²+c的函数值大于函数y=x+1的函数值．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象与坐标轴的交点坐标求解即可；
（2）求出函数y=x+1与x轴和y轴的交点坐标，然后利用两点法作出函数图象即可；
（3）联立两函数解析式，解方程组求出交点坐标，然后根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可．

解答 解：（1）由图可知，函数图象经过点（3，0），（0，3），
代入函数解析式得，$\left\{\begin{array}{l}{9a+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{c=3}\end{array}\right.$；

（2）令y=0，则x+1=0，
解得x=-1，
所以，直线y=x+1与x轴的交点坐标为（-1，0），
令x=0，则y=1，
所以，直线y=x+1与y轴的交点坐标为（0，1），
作出图象如图所示；

（3）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}+3}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{-3+\sqrt{33}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{-1+\sqrt{33}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{-3-\sqrt{33}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{-1-\sqrt{33}}{2}}\end{array}\right.$，
所以，两函数的交点坐标为（$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{33}}{2}$），（$\frac{-3-\sqrt{33}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{33}}{2}$），
由图可知，$\frac{-3-\sqrt{33}}{2}$＜x＜$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$时，函数y=ax²+c的函数值大于函数y=x+1的函数值．

点评 本题考查了二次函数与不等式，主要利用了待定系数法求一次二次函数解析式，一次函数图象的画法，两函数图象的交点坐标的求法，要注意数形结合思想的应用．