Question

9．已知：如图，在⊙O中，直径CD交弦AB于点E，且CD平分弦AB，连接OA，BD．
（1）若AE=$\sqrt{5}$，DE=1，求OA的长．
（2）若OA∥BD，则tan∠OAE的值为多少？

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理可得OD⊥AB，然后设AO=x，则DO=x，EO=x-1，利用勾股定理可得∴（$\sqrt{5}$）²+（x-1）²=x²，再解即可；
（2）首先证明△AEO≌△BEO，进而可得EO=ED，然后可得∠OAB=30°，再利用特殊角的三角函数可得答案．

解答 解：（1）∵直径CD交弦AB于点E，且CD平分弦AB，
∴OD⊥AB，
设AO=x，则DO=x，
∵DE=1，
∴EO=x-1，
在Rt△AOE中：AE²+EO²=AO²，
∴（$\sqrt{5}$）²+（x-1）²=x²，
解得：x=3，
∴AO=3；

（2）∵OA∥BD，
∴∠OAB=∠EBD，
∵直径CD交弦AB于点E，且CD平分弦AB，
∴AE=BE，EO⊥AB，
在△AOE和△BDE中$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠DBE}\\{AE=BE}\\{∠OEA=∠DEB}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△BEO（ASA）．
∴EO=ED，
∵AO=DO，
∴OE=$\frac{1}{2}$AO，
∴∠OAE=30°，
∴tan∠OAE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题主要考查了垂径定理，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．