Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E是BC的中点，连结DE．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）AD=2，DB=3，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连结OD，CD，求出DE=CE=BE，推出∠1+∠3=∠2+∠4，求出∠ACB=∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）由△BCD∽△BAC，得$\frac{BC}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$，求出BC，根据DE=$\frac{1}{2}$BC即可解决问题．

解答 （1）证明：连结OD，CD，
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDC=180°-∠ADC=90°，
∵E是BC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=CE，
∴∠1=∠2．
∵OC=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
即∠ACB=∠ODE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ODE=90°，
又∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°，
∴△BCD∽△BAC，
∴$\frac{BC}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$，
∴BC²=15，
∵BC＞0，
∴BC=$\sqrt{15}$，
∵DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

点评 本题考查圆、直角三角形斜边上的中线性质、相似三角形的判定和性质、切线的判定等知识，解题的关键是这些知识的灵活运用，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．