Question

7．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=6厘米，OB=8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
（2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm²？

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理列式求出AB，再表示出AP、AQ，然后分∠APQ和∠AQP是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；
（2）过点P作PC⊥OA于C，利用∠OAB的正弦求出PC，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．

解答 解：（1）∵点A（0，6），B（8，0），
∴AO=6，BO=8，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒1个单位，
∴AQ=t，AP=10-t，
①∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，
∴$\frac{AP}{AO}=\frac{AQ}{AB}$，
即$\frac{10-t}{6}=\frac{t}{10}$，
解得t=$\frac{25}{4}$＞6，舍去；
②∠AQP是直角时，△AQP∽△AOB，
∴$\frac{AQ}{AO}=\frac{AP}{AB}$，
即$\frac{t}{6}=\frac{10-t}{10}$，
解得t=$\frac{15}{4}$，
综上所述，t=$\frac{15}{4}$秒时，△APQ与△AOB相似；
（2）如图，过点P作PC⊥OA于点C，

则PC=AP•sin∠OAB=（10-t）×$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$（10-t），
∴△APQ的面积=$\frac{1}{2}$×t×$\frac{4}{5}$（10-t）=8，
整理，得：t²-10t+20=0，
解得：t=5+$\sqrt{5}$＞6（舍去），或t=5-$\sqrt{5}$，
故当t=5-$\sqrt{5}$s时，△APQ的面积为8cm²．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积以及一元二次方程的应用能力，根据对应边成比例两相似三角形的判定分类讨论是解题的关键．