Question

已知关于x的方程x²-（k+1）x+

1

4

k²+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为

5

，求k的值．

Answer 1

分析：先设此方程两根分别是x₁、x₂，根据根与系数的关系可得x₁+x₂=-

b

a

=k+1，x₁•x₂=

c

a

=

1

4

k²+1，由于矩形的对角线长为

5

，根据勾股定理可得x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（

5

）²，于是（k+1）²-2（

1

4

k²+1）=5，解得k=2或k=-6，再根据根的判别式可知△≥0，即（k+1）²-4（

1

4

k²+1）≥0，解得k≥

3

2

，于是可确定k=2．

解答：解：设此方程两根分别是x₁、x₂，那么，
x₁+x₂=-

b

a

=k+1，x₁•x₂=

c

a

=

1

4

k²+1，
∵矩形的对角线为

5

，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（

5

）²，
∴（k+1）²-2（

1

4

k²+1）=5，
即

1

2

k²+2k-6=0，
解得k=2或k=-6，
∵方程的两根是矩形两邻边的长，
∴△=b²-4ac≥0，
即（k+1）²-4（

1

4

k²+1）≥0，
解得k≥

3

2

，
∴k=2．

点评：本题考查了根与系数的关系、根的判别式、勾股定理，解题的关键是使用完全平方公式、并解一元二次方程．