Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E。

（1）求证：AB=BE；

（2）若PA=2 ，cosB=，求⊙O半径的长。

Answer 1

【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、3.

【解析】

试题分析：(1)、连接OD，根据切线的性质得出∠PDA+∠ADO=90°，根据BE⊥PD得出∠E+∠EDC=90°，根据对顶角相等从而得出∠ADO=∠E，根据OA=OD得出∠OAD=∠ADO，从而说明∠OAD=∠E，从而得出答案；(2)、首先设半径为r，根据OD⊥PC，BE⊥PC得出OD∥BE，然后根据Rt△PDO中cos∠POD=cos∠B列出关于r的一元一次方程，求出r的值.

试题解析：(1)、连接OD， ∵PD切⊙O于点D，∴∠PDO=90°即∠PDA+∠ADO=90°，

∵BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，∴∠E+∠EDC=90°， ∵∠PDA=∠EDC，∴∠ADO=∠E，

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠E，∴AB=BE

(2)、设⊙O半径的半径为r ∵OD⊥PC，BE⊥PC，∴OD∥BE，∴∠POD=∠B，

∵在Rt△PDO中，PO=PA+AO=2+r，cos∠POD=cos∠B=

∴，解得：r=3，答：⊙O半径的长为3