Question

22、已知函数y=mx²-6x+1（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根据解析式可知，当x=0时，与m值无关，故可知不论m为何值，函数y=mx²-6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）．
（2）应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x轴有一个交点；
②当函数为二次函数时，利用根与系数的关系解答．

解答：解：（1）当x=0时，y=1．
所以不论m为何值，函数y=mx²-6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）；

（2）①当m=0时，函数y=-6x+1的图象与x轴只有一个交点；
②当m≠0时，若函数y=mx²-6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx²-6x+1=0有两个相等的实数根，
所以△=（-6）²-4m=0，m=9．
综上，若函数y=mx-6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点或一次函数与x轴的交点，是典型的分类讨论思想的应用．