Question

11．如图，AB，Ac与⊙O相切于点B，C，BD∥AC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于E，交⊙O于点F，∠BAF=45°．
（1）求证；BD=DE；
（2）求tan∠EAF的值．

Answer 1

分析 （1）作BH⊥AE于H，连接BF．只要证明△BDF≌△BHA，四边形DEHB是矩形即可解决问题；
（2）连接OC，由AE、AB是切线，推出AB=AC，OC⊥AE，推出EF∥OC∥BH，由OF=OB，推出EC=CH，由四边形DEHB是正方形，设边长为a，DF=AH=b，则EF=a-b，AE=a+b，AC=$\frac{1}{2}$a+b，AB=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，可得（$\frac{1}{2}$a+b）²=a²+b²，推出a=$\frac{4}{3}$b，根据tan∠EAF=$\frac{EF}{AE}$=$\frac{a-b}{a+b}$计算即可；

解答 （1）证明：作BH⊥AE于H，连接BF．
∵DE⊥AE，BD∥AE，
∴BD⊥DE，
∴∠BDF=90°，
∴BF是直径，
∵BC是切线，
∴∠ABF=90°，
∵∠BDE=∠DEH=∠BHE=90°，
∴四边形DEHB是矩形，
∴∠DBH=∠ABF=90°，BH=ED，
∴∠DBF=∠ABH，
∵∠BAF=45°，∠ABF=90°，
∴BF=BA，∵∠BDF=∠BHA=90°，
∴△BDF≌△BHA，
∴BD=BH=DE．
∴BD=DE．

（2）解：连接OC．
∵AE、AB是切线，
∴AB=AC，OC⊥AE，
∴EF∥OC∥BH，
∵OF=OB，
∴EC=CH，
∵四边形DEHB是矩形，DE=BD，
∴四边形DEHB是正方形，设边长为a，DF=AH=b，则EF=a-b，AE=a+b，AC=$\frac{1}{2}$a+b，AB=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴（$\frac{1}{2}$a+b）²=a²+b²，
∴a=$\frac{4}{3}$b，
∴tan∠EAF=$\frac{EF}{AE}$=$\frac{a-b}{a+b}$=$\frac{\frac{4}{3}b-b}{\frac{4}{3}b+b}$=$\frac{1}{7}$．

点评 本题考查切线的性质、正方形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、平行线等分线段定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．