Question

如图，直线y=-

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x+4与x轴与y轴分别交于点A、C，抛物线y=ax²+bx+c经过A、C两点，且对称轴是直线x=

5

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，过点C作CB∥x轴交该抛物线于点B，抛物线与x轴的另一交点是D，连结AB．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）求证：CA平分∠BAD；
（3）两个动点P、Q分别从O、A两点同时出发．其中，点P以每秒2个单位长度的速度沿着线段0A向A点运动，点Q以每秒1个单位长度的速度沿着线段AB向B点运动．设这两个动点运动的时间为t（秒）（0＜t＜4），△PQA的面积记为S．
①求S与t的函数关系式；
②当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
③直线AC能否垂直平分线段PQ？若能，请直接写出此时t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂），由直线y=-

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x+4的解析式易求A和D的坐标，再把C点的坐标代入求出a的值即可求出抛物线的解析式；
（2）过点B作BH⊥x轴于H，由抛物线的对称性知B（5，4），由此求出AB=BC，再有已知条件证明∠BAC=∠DAC即可：
（3）①过Q点作QG⊥x轴于G，由BH∥QG，所以看得：△ABH∽△AQG，根据相似三角形的性质和三角形的面积公式即可得到S与t的函数关系式；②把①中的函数关系式配方即可求出当t取2时，s取到最大值；③直线AC能垂直平分线段PQ，因为CA平分∠BAD，所以当AQ=AP时，AC垂直平分线段PQ，由此可求出t的值．

解答：解：（1）对于直线y=-

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x+4，令x=0，得y=4；令y=0，得x=8．
∴点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4）．
∵抛物线的对称轴是直线x=

5

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，
∴点D的坐标为（-3，0），
设所求的抛物线函数关系式为y=a（x+3）（x-8），
把点C（0，4）代入上式，得4=a（0+3）（0-8），
解得a=-

1

6

．
∴所求的抛物线函数关系式为y=-

1

6

(x+3)(x-8)，
即y=-

1

6

x2+

5

6

x+4；
（2）过点B作BH⊥x轴于H，
由抛物线的对称性知B（5，4），
∴AB=BC=5，
∴∠ACB=∠BAC，
又∵CB∥x轴
∴∠ACB=∠DAC，
∴∠BAC=∠DAC，
∴CA平分∠BAD，
（3）①过Q点作QG⊥x轴于G，
∵BH∥QG，
∴△ABH∽△AQG，
由AQ=t，可得QG=

4

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t，
又∵OP=2t，
∴AP=8-2t，
∴S=

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×

4

5

t(8-2t)=-

4

5

t2+

16

5

t，
②S=-

4

5

t2+

16

5

t=-

4

5

(t-2)2+

16

5

，
∵-

4

5

＜0，
∴当t=2时，S有最大值为

16

5

，
③直线AC能垂直平分线段PQ，理由如下：
∵CA平分∠BAD，
∴当AQ=AP时，AC垂直平分线段PQ，
即t=8-2t，
得t=

8

3

．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、一次函数图象和坐标轴交点的问题、二次函数的最值问题、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、垂直平分线的性质、三角形的面积公式运用，题目的综合性很强，对学生的解题能力要求很高，是一道不错的中考压轴题．