Question

如图，抛物线y=

1

2

x2+bx+c（b，c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（-1，0）．
（1）请直接写出点OA的长度；
（2）若常数b，c满足关系式：bc=3．求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方抛物线上的动点，连接PB、PC．设△PBC的面积为S．
①求S的取值范围；
②若△PBC的面积S为整数，则这样的点P共有多少个（直接写出结果）？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据点A的坐标写出OA的长度即可；
（2）把点A的坐标代入抛物线解析式用c表示出b，然后代入bc=3计算求出c的值，再求出b的值，即可得解；
（3）①根据抛物线解析式令y=0解方程求出点B的坐标，从而得到OB的长，再分点P在y轴左边时，过点P作PD⊥x轴于D，然后根据△PBC的面积S=S_梯形PCOD+S_△BOC-S_△PBD，列式整理，再根据二次函数的增减性求出取值范围；点P在y轴右边时，过点P作PD⊥x轴于D，然后根据△PBC的面积S=S_梯形PCOD+S_△PBD-S_△BOC列式整理，再根据二次函数的增减性求解；
②根据S的取值范围分两部分确定出点P的个数即可得解．

解答：解：∵点A的坐标为（-1，0），
∴OA=1；

（2）把点A（-1，0）代入抛物线得，

1

2

-b+c=0，
∴b=c+

1

2

，
∵bc=3，
∴（c+

1

2

）c=3，
整理得，2c²+c-6=0，
解得c₁=

3

2

（舍去），c₂=-2，
∴b=-2+

1

2

=-

3

2

，
抛物线解析式为y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（3）①令y=0，则

1

2

x²-

3

2

x-2=0，
整理得，x²-3x-4=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
∴点B的坐标为（4，0），
∴OB=4，
设点P的横坐标为x，
点P在y轴左边时，-1＜x＜0，过点P作PD⊥x轴于D，
△PBC的面积S=S_梯形PCOD+S_△BOC-S_△PBD，
=

1

2

（-

1

2

x²+

3

2

x+2+2）•（-x）+

1

2

×4×2-

1

2

（-

1

2

x²+

3

2

x+2）•（4-x），
=x²-4x，
∵x＜2时，S随x的增大而减小，
∴0＜S＜5；
点P在y轴右边时，0＜x＜4，过点P作PD⊥x轴于D，
△PBC的面积S=S_梯形PCOD+S_△PBD-S_△BOC，
=

1

2

（-

1

2

x²+

3

2

x+2+2）•x+

1

2

（-

1

2

x²+

3

2

x+2）•（4-x）+

1

2

×2×4，
=-x²+4x，
=-（x-2）²+4，
∵a=-1＜0，
∴当x=2时，S有最大值4，
∴0＜S≤4；
综上所述，S的取值范围是0＜S＜5；
②点P在y轴左边时，S可取的整数值为1、2、3、4，点P有4个，
点P在y轴右边时，S可取的整数值有1、2、3、4，点P有7个，
所以，使△PBC的面积S为整数的点P共有11个．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积表示，二次函数的对称性以及二次函数的函数值的取值范围的求解，难点在于（3）要分情况讨论．