Question

我们提供如下定理：在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，

如图（1），Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC=

1

2

AB．
请利用以上定理及有关知识，解决下列问题：
如图（2），边长为6的等边三角形ABC中，点D从A出发，沿射线AB方向有A向B运动点F同时从C出发，以相同的速度沿着射线BC方向运动，过点D作DE⊥AC，DF交射线AC于点G．
（1）当点D运动到AB的中点时，直接写出AE的长；
（2）当DF⊥AB时，求AD的长及△BDF的面积；
（3）小明通过测量发现，当点D在线段AB上时，EG的长始终等于AC的一半，他想当点D运动到图3的情况时，EG的长始终等于AC的一半吗？若改变，说明理由；若不变，说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,含30度角的直角三角形

专题：计算题

分析：（1）根据D为AB的中点，求出AD的长，在Rt△ADE中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AE的长即可；
（2）根据题意得到设AD=CF=x，表示出BD与BF，在Rt△BDF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到BF=2BD，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出BD与BF的长，利用勾股定理求出DF的长，即可确定出△BDF的面积；
（3）不变，理由如下，如图，过F作FM⊥AG延长线于M，由AD=CF，且△ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义得到DE=FM，以及AE=CM，利用AAS得到△DEG与△FMC全等，利用全等三角形对应边相等得到EG=MG，根据AC=AE+EC，等量代换即可得证．

解答：解：（1）当D为AB中点时，AD=BD=

1

2

AB=3，
在Rt△ADE中，∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∴AE=

1

2

AD=

3

2

；

（2）设AD=x，∴CF=x，
则BD=6-x，BF=6+x，
∵∠B=60°，∠BDF=90°，
∴∠F=30°，即BF=2BD，
∴6+x=2×（6-x），
解得：x=2，即AD=2，
∴BD=4，BF=8，
根据勾股定理得：DF=

82-42

=4

3

，
∴S_△BDF=

1

2

×4×4

3

=8

3

；

（3）不变，理由如下，如图，过F作FM⊥AG延长线于M，
∵AD=CF，△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ACB=∠FCM=60°，
在Rt△ADE和Rt△FCM中，
∴DE=ADsinA=

3

2

AD，FM=CFsin∠FCM=

3

2

CF，
∴DE=FM，
同理AE=CM，
在△DEG和△FMG，

∠DEG=∠FMC=90° ∠EGD=∠MGF DE=FM

，
∴△DEG≌△FMG（AAS），
∴EG=GM，
∴AC=AE+EC=CM+CE=EG+GM=2GE．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．