Question

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y=$\frac{k}{x}$的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．
（1）填空：双曲线的另一支在第三象限，k的取值范围是k＞0；
（2）若点C的坐标为（1，1），请用含有k的式子表示阴影部分的面积S．并回答：当点E在什么位置时，阴影部分面积S最小？
（3）若$\frac{OD}{OC}$=$\frac{1}{2}$，S_△OAC=2，求双曲线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数图象与性质得到：双曲线y=$\frac{k}{x}$的一支在第一象限，则k＞0，得到另一支在第三象限；
（2）根据梯形的性质，AC∥x轴，BC⊥x轴，根据点C的坐标为（1，1），可得A点的纵坐标为1，E点的横坐标为1，B点坐标为（1，0），然后表示出A、E的坐标，S_阴影部分=S_△ACE+S_△OBE，再代入相应数值可得s=$\frac{1}{2}$（k-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{8}$，再根据二次函数的最值可得答案；
（3）设D点坐标为（a，$\frac{k}{a}$），然后表示出C点坐标为（2a，$\frac{2k}{a}$），再表示出A点坐标，根据三角形面积公式由S_△OAC=2得到$\frac{1}{2}$×（2a-$\frac{a}{2}$）×$\frac{2k}{a}$=2，然后解方程即可求出k的值，然后可得解析式．

解答 解：（1）三，k＞0；

（2）∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，
∵点C的坐标为（1，1），
∴A点的纵坐标为1，E点的横坐标为1，B点坐标为（1，0），
把y=1代入y=$\frac{k}{x}$得x=k；把x=1代入y=$\frac{k}{x}$得y=k，
∴A点的坐标为（k，1），E点的坐标为（1，k），
∴S_阴影部分=S_△ACE+S_△OBE
=$\frac{1}{2}$×（1-k）×（1-k）+$\frac{1}{2}$×1×k，
=$\frac{1}{2}$k²-$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{2}$，
=$\frac{1}{2}$（k-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{8}$，
当k-$\frac{1}{2}$=0，即k=$\frac{1}{2}$时，S_阴影部分最小，最小值为$\frac{3}{8}$；
∴E点的坐标为（$\frac{1}{2}$，1），即E点为BC的中点，
∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小；

（3）设D点坐标为（a，$\frac{k}{a}$），
∵$\frac{DO}{CO}$=$\frac{1}{2}$，
∴2OD=OC，即D点为OC的中点，
∴C点坐标为（2a，$\frac{2k}{a}$），
∴A点的纵坐标为$\frac{2k}{a}$，
把y=$\frac{2k}{a}$代入y=$\frac{k}{x}$得x=$\frac{a}{2}$，
∴A点坐标为（$\frac{a}{2}$，$\frac{2k}{a}$），
∵S_△OAC=2，
∴$\frac{1}{2}$×（2a-$\frac{a}{2}$）×$\frac{2k}{a}$=2，
∴k=$\frac{4}{3}$，
∴双曲线的解析式为y=$\frac{4}{3x}$

点评 本题考查了反比例函数综合题：当k＞0时，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象分布在第一、三象限；点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；运用梯形的性质得到平行线段，从而找到点的坐标特点．