Question

在Rt△ABC中，∠B=90°．△ABC的内切圆⊙O内切AC交于点D，过点D作BC的垂线交BC于E．设AD=a，CD=b，则△DEC的面积为

 

．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：如图，根据勾股定理及三角形的面积公式求出△CAB的面积=ab，此为解决该题的关键结论；运用相似三角形的性质，即可解决问题．

解答：解：如图，∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴AM=AD=a，CN=CD=b，BM=BN（设为λ），
∵∠B=90°，
∴AC²=AB²+BC²，
即（a+b）²=（a+λ）²+（b+λ）²，
整理得：λ²+（a+b）λ=ab；
设△CDE、△CAB的面积分别为α、β；
β=

1

2

（a+λ）（b+λ）=

λ2+(a+b)λ+ab

2

=

2ab

2

=ab．
∵DE⊥BC，∠B=90°，
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴

α

β

=(

CD

AC

)2，而CD=b，AD=a，
∴α=

ab3

a2+2ab+b2

，
故答案为：

ab3

a2+2ab+b2

．

点评：该题主要考查了三角形的内切圆的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用内切圆的性质、相似三角形的判定及其性质来分析、解答．