Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为4，点G，H分别是BC、CD边上的点，直线GH与AB、AD的延长线相交于点E，F，连接AG、AH．
（1）当BG=2，DH=3时，则GH：HF= ， ∠AGH=°；
（2）若BG=3，DH=1，求DF、EG的长；
（3）设BG=x，DH=y，若△ABG∽△FDH，求y与x之间的函数关系式，并求出y的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）1：3；90
（2）解：∵正方形ABCD的边长为4，BG=3，DH=1，

∴CG=1，CH=3，

∵CG∥DF，CH∥BE，

∴△CGH∽△BGE∽△DFH，

∴ = = ，即 = = ，

解得BE=9，DF= ，

∴Rt△BEG中，EG= = =3

（3）解：∵正方形ABCD的边长为4，BG=x，DH=y，

∴CG=4﹣x，CH=4﹣y，

由（1）可得，△FDH∽△GCH，而△ABG∽△FDH，

∴△ABG∽△GCH，

∴ = ，即 = ，

∴y与x之间的函数关系式为：y= x2﹣x+4，

∵ = ，

∴4﹣y= =﹣ +x，

∴当x=﹣ =2时，4﹣y有最大值，且最大值为﹣ ×4+2=1，

∴0＜4﹣y≤1，

解得3≤y＜4．

【解析】解：（1）解：∵正方形ABCD的边长为4，BG=2，DH=3， ∴CG=2，CH=1，
∵DF∥CG，
∴△FDH∽△GCH，
∴ = = ，
∵Rt△GCH中，GH2=CG2+CH2=5，
Rt△ABG中，AG2=AB2+BG2=20，
Rt△ADH中，AH2=AD2+DH2=25，
∴GH2+AG2=AH2 ，
∴△AGH是直角三角形，且∠AGH=90°．
所以答案是：1：3，90

（1）根据正方形ABCD的边长为4，BG=2，DH=3，可得CG=2，CH=1，再根据DF∥CG，得出△FDH∽△GCH，根据相似三角形的性质可得GH：HF的值，最后根据勾股定理的逆定理，判定△AGH是直角三角形，且∠AGH=90°即可；（2）根据正方形ABCD的边长为4，BG=3，DH=1，得出CG=1，CH=3，再根据CG∥DF，CH∥BE，可得△CGH∽△BGE∽△DFH，最后根据相似三角形的性质以及勾股定理，求得DF、EG的长；（3）根据正方形ABCD的边长为4，BG=x，DH=y，得出CG=4﹣x，CH=4﹣y，由（1）可得，△FDH∽△GCH，而△ABG∽△FDH，进而得出△ABG∽△GCH，根据相似三角形的对应边成比例，可得y与x之间的函数关系式为：y= x2﹣x+4，最后运用二次函数的性质求得3≤y＜4即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的最值的相关知识，掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a，以及对勾股定理的逆定理的理解，了解如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．