Question

12．如图，平面直角坐标系中O是原点，?ABCD的顶点A，C的坐标分别是（8，0），（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连接FG．则下列结论：
①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是$\frac{20}{3}$；④OD=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$
其中正确的结论是①③（填写所有正确结论的序号）．

Answer 1

分析 ①证明△CDB∽△FDO，列比例式得：$\frac{BC}{OF}=\frac{BD}{OD}$，再由D、E为OB的三等分点，则$\frac{BD}{OD}$=$\frac{2}{1}=2$，可得结论正确；
②如图2，延长BC交y轴于H证明OA≠AB，则∠AOB≠∠EBG，所以△OFD∽△BEG不成立；
③如图3，利用面积差求得：S_△CFG=S_?OABC-S_△OFC-S_△OBG-S_△AFG=12，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行计算并作出判断；
④根据勾股定理进行计算OB的长，根据三等分线段OB可得结论．

解答 解：①∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC=OA，
∴△CDB∽△FDO，
∴$\frac{BC}{OF}=\frac{BD}{OD}$，
∵D、E为OB的三等分点，
∴$\frac{BD}{OD}$=$\frac{2}{1}=2$，
∴$\frac{BC}{OF}=2$，
∴BC=2OF，
∴OA=2OF，
∴F是OA的中点；
所以①结论正确；
②如图2，延长BC交y轴于H，
由C（3，4）知：OH=4，CH=3，
∴OC=5，
∴AB=OC=5，
∵A（8，0），
∴OA=8，
∴OA≠AB，
∴∠AOB≠∠EBG，
∴△OFD∽△BEG不成立，
所以②结论不正确；
③由①知：F为OA的中点，
同理得；G是AB的中点，
∴FG是△OAB的中位线，
∴FG=$\frac{1}{2}OB$，FG∥OB，
∵OB=3DE，
∴FG=$\frac{3}{2}$DE，
∴$\frac{FG}{DE}$=$\frac{3}{2}$，
过C作CQ⊥AB于Q，
S_?OABC=OA•OH=AB•CQ，
∴4×8=5CQ，
∴CQ=$\frac{32}{5}$，
S_△OCF=$\frac{1}{2}$OF•OH=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
S_△CGB=$\frac{1}{2}$BG•CQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×$\frac{32}{5}$=8，
S_△AFG=$\frac{1}{2}$×4×2=4，
∴S_△CFG=S_?OABC-S_△OFC-S_△OBG-S_△AFG=8×4-8-8-4=12，
∵DE∥FG，
∴△CDE∽△CFG，
∴$\frac{{S}_{△CDE}}{{S}_{△CFG}}$=$（\frac{DE}{FG}）^{2}$=$\frac{4}{9}$，
∴$\frac{{S}_{四边形DEGF}}{{S}_{△CFG}}$=$\frac{5}{9}$，
∴$\frac{{S}_{四边形DEGF}}{12}=\frac{5}{9}$，
∴S_{四边形DEGF}=$\frac{20}{3}$；
所以③结论正确；
④在Rt△OHB中，由勾股定理得：OB²=BH²+OH²，
∴OB=$\sqrt{{4}^{2}+（3+8）^{2}}$=$\sqrt{137}$，
∴OD=$\frac{\sqrt{137}}{3}$，
所以④结论不正确；
故本题结论正确的有：①③；
故答案为：①③．

点评 本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质、图形与坐标特点、勾股定理、三角形的中位线定理、三角形相似的性质和判定、平行四边形和三角形面积的计算等知识，难度适中，熟练掌握平行四边形和相似三角形的性质是关键．