Question

【题目】如图1，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线顶点为D，连接AC，BC，CD，BD，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，作PM⊥x轴于点M，设点M的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）试探究是否存在这样的点P，使得以P，M，B为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，PM交线段BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交线段BC于点F，请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出当m为何值时QF有最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，（1，﹣4）；（2）见解析;（3）见解析.

【解析】

（1）设抛物线解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3）, 将C（0，-3），代入可求出解析式，根据抛物线的顶点坐标公式求出D点即可.

（2）由（1）可得BC＝3 ，CD＝，BD＝，△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，再分情况讨论：①当△PMB∽△BCD时，得点P（2，﹣3）；②当△BMP∽△BCD时，点P的坐标为（﹣，﹣）；

（3）设QF为y，作FH⊥PM于点H，先证明△FHP∽△AOC，得出PQ＝＝2y，根据点B、C的坐标得到直线BC的表达式为：y＝x﹣3，设点P（m，m2﹣2m﹣3），点Q（m，m﹣3），求出PQ＝﹣m2+3m，即可解答.

解：（1）设抛物线解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），

将C（0，-3），代入可得：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，

根据顶点坐标公式得出D的坐标为

∴点D的坐标为（1，﹣4）；

（2）由（1）知，点B、C、D的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3）、（1，﹣4），

则BC＝3 ，CD＝，BD＝，

则△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，

①当△PMB∽△BCD时，

则∠MPB＝∠DBC，即：tan∠MPB＝tan∠DBC＝ ，

∵点M（m，0），则点P（m，m2﹣2m﹣3），

tan∠MPB＝，

解得：m＝2或3（舍去3），

故点P（2，﹣3）；

②当△BMP∽△BCD时，

同理可得：点P（﹣，﹣）；

故点P的坐标为：（2，﹣3）或（﹣，﹣）；

（3）设QF为y，作FH⊥PM于点H，

∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°

则FH＝QH＝y，

∵PE∥AC，PM∥OC，则∠PEM＝∠HFP＝∠CAO，

∴△FHP∽△AOC，

则PH＝3FH＝y，

∴PQ＝＝2y，

根据点B、C的坐标求出直线BC的表达式为：y＝x﹣3，

则点P（m，m2﹣2m﹣3），点Q（m，m﹣3），

所以PQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，即：2y＝﹣m2+3m，

则y＝，．

∴当m＝时，QF有最大值．