【题目】如图,已知直线与⊙O相离,OA⊥于点A,交⊙O于点P,点B是⊙O上一点,连接BP并延长,交直线于点C,使得AB=AC.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若PC=2,OA=4,求⊙O的半径.
【答案】(1)详见解析;(2)1.
【解析】试题分析:(1)连结OB,如图,由等腰三角形的性质得∠1=∠2,∠4=∠5,由OA⊥AC得∠2+∠3=90°,加上∠3=∠4,易得∠5+∠1=90°,即∠OBA=90°,于是根据切线的判定定理可得AB是⊙O的切线;
(2)作OH⊥PB于H,如图,根据垂径定理得到BH=PH,设⊙O的半径为r,则PA=OA-OP=4-r,根据勾股定理得到AC,AB,然后根据相似三角形的性质即可得到结论.
(1)证明:连结OB,
∵AB=AC,
∴∠1=∠2,
∵OA⊥AC,
∴∠2+∠3=90°,
∵OB=OP,
∴∠4=∠5,而∠3=∠4,
∴∠5+∠2=90°,
∴∠5+∠1=90°,即∠OBA=90°,
∴OB⊥AB,
∴AB是⊙O的切线;
(2)解:设⊙O的半径为r,则PA=OA﹣OP=4﹣r,
在Rt△PAC中,AC2=PC2﹣PA2=(2)2﹣(4﹣r)2,
在Rt△OAB中,AB2=OA2﹣OB2=42﹣r2,而AB=AC,
∴(2 2﹣(4﹣r)2=42﹣r2,
解得r=1,
即⊙O的半径为1.
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【题目】疫情期间福州一中初中部举行了“宅家运动会”.该学校七、八年级各有300名学生参加了这次“宅家运动会”,现从七、八年级各随机抽取20名学生宅家运动会的成绩进行抽样调查.
收集数据如下:
七年级: | 74 | 97 | 96 | 72 | 98 | 99 | 72 | 73 | 76 | 74 |
74 | 69 | 76 | 89 | 78 | 74 | 99 | 97 | 98 | 99 | |
八年级: | 76 | 88 | 96 | 89 | 78 | 94 | 89 | 94 | 95 | 50 |
89 | 68 | 65 | 89 | 77 | 86 | 89 | 88 | 92 | 91 |
整理数据如下:
七年级 | 0 | 1 | 10 | 1 | a |
八年级 | 1 | 2 | 3 | 8 | 6 |
分析数据如下:
年级 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
七年级 | 84.2 | 77 | 74 | 138.56 |
八年级 | 84 | b | 89 | 129.7 |
根据以上信息,回答下列问题:
(1)___________,___________;
(2)你认为哪个年级“宅家运动会”的总体成绩较好,说明理由(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)
(3)学校对“宅家运动会”成绩不低于80分的学生颁发优胜奖,请你估计学校七、八年级所有学生中获得优胜奖的大约有___________人.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC, AD是△ABC 底边BC上的中线,P为AB上一点.
(1)在AD上找一点E,使得PE+EB的值最小;
(2)若P为AB的中点,当∠BPE= °时,△ABC是等边三角形.(直接写出结果)
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【题目】世界上大部分国家都使用摄氏温度(),但美国、英国等国家的天气预报仍然使用华氏温度().两种计量之间有如下对应:
摄氏温度() | ||||||
华氏温度() |
(1)上表反映了哪两变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
(2)由上表可得:摄氏温度()每提高度,华氏温度()提高_____度.
(3)摄氏温度度时华氏温度为______度.
(4)华氏温度度时摄氏温度为_______度.
(5)华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗?如果有,求出这个值.如果没有,请说明理由.
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【题目】某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象,已知废墟一侧地面上两探测点A,B相距3米,探测线与地面的夹角分别是30°和60°(如图),试确定生命所在点C的深度.(结果保留根号)
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,且BD=CD,过点A作AM⊥BD于点M,过点D作DN⊥AB于点N,且DN=,在DB的延长线上取一点P,满足∠ABD=∠MAP+∠PAB,则AP=_____.
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【题目】二孩子政策的落实引起了全社会的关注,某校学生数学兴趣小组为了了解本校同学父母生育二孩子的态度,在学校抽取了部分同学对父母生育二孩子所持的态度进行了问卷调查,调查分别为非常赞同、赞同、无所谓、不赞同等四种态度,现将调查统计结果制成了如图两幅统计图,请结合两幅统计图,回答下列问题:
(1)在这次问卷调查中一共抽取了__________名学生,a=________%;
(2)请补全条形统计图;
(3)持“不赞同”态度的学生人数的百分比所占扇形的圆心角为__________度;
(4)若该校有3000名学生,请你估计该校学生对父母生育二孩子持“赞同”和“非常赞同”两种态度的人数之和.
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【题目】如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC的垂直平分线EF交AC于O,分别交BC、AD于点E、F.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)若AB=4,BC=8,求EC的长.
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