Question

【题目】如图，矩形AOBC，A（0，3）、B（6，0），点E在OB上，∠AEO=30°，点P从点Q（﹣4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．

（1）求点E的坐标；

（2）当△PAE是等腰三角形时，求t的值；

（3）以点P为圆心，PA为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）点E的坐标为（，0）；（2）当△PAE是等腰三角形时，t的值为（3﹣2）s或（3）s或（4+）s；（3），当⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，t的值为（4﹣）秒或4秒或秒．

【解析】

（1）由A，B的坐标及∠AEO=30°可得OE=，即可求出点E的坐标；

（2）分三种情形①当EA=EP时，EP1=EA=EP2=6，求出t．②当PA=PE时，设P3E=P3E=x，在Rt△AOP3中，32+（-x）2=x2，x=2，求出t即可．③当AE=AP时，点P在点Q左边，不符合题意．

（3）本小题分三种情况讨论：①当PA⊥AE时，⊙P与AE相切；②当PA⊥AC时，⊙P与AC相切；③当PB⊥BC时，⊙P与BC相切；分别求出各种情况的t的值．

（1）∵A（0，3），B（6，0），

∴OA=3，OB=6，

∵∠AEO=30°，

∴OE=OA=3，

∴点E的坐标为（3，0）．

（2）如图1中，

当EA=EP时，EP1=EA=EP2=6，此时t=3﹣2或3+10，

当PA=PE时，设P3E=P3E=x，在Rt△AOP3中，32+（3﹣x）2=x2，

∴x=2，此时t=4+

当AE=AP时，点P在点Q左边，不符合题意．

综上所述，当△PAE是等腰三角形时，t的值为（3﹣2）s或（3）s或（4+）s．

（3）由题意知，若⊙P与四边形AEBC的边相切，有以下三种情况：

①如图2中，当PA⊥AE时，⊙P与AE相切，

∵∠AEO=30°，AO=3，

∴∠APO=60°，

∴OP=，

∴QP=QO﹣PO=4﹣，

∵点P从点Q（﹣4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，

∴t=4﹣（秒）．

②如图3中，当PA⊥AC时，⊙P与AC相切，

∵QO=4，点P从点Q（﹣4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，

∴t=4（秒），

③如图4中，当⊙P与BC相切时，

由题意，PA2=PB2=（10﹣t）2，PO2=（t﹣4）2．

于是（10﹣t）2=（t﹣4）2+32．

解得t=（秒），

综上所述，当⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，t的值为（4﹣）秒或4秒或秒．