Question

如图，△ABC的外接圆⊙O的直径BE交AC于点D，已知弧BC等于120°，cotC=

2

3

3

，则关于x的一元二次方程x2-

3

BDx+BD•DE=0根的情况是（　　）

• A、没有实数恨
• B、有两个相等的正实数根
• C、有两个相等的实数根
• D、有两个不相等的正实数根

Answer 1

分析：BD为直径，连接CE，构成直角三角形．
过D点作DF⊥BC．在Rt△CDF中，运用锐角三角函数求边长；
在Rt△BCE中，因为弧BC等于120°，可求其两锐角分别为60°、30°，根据锐角三角函数可求BD、DE的长，代入判别式中，确定判别式的符号．

解答：解：过D点作DF⊥BC，垂足为点F，连接CE．
在Rt△CDF中，cotC=

2

3

3

．
设CF=2，则DF=

3

．
已知弧BC等于120°，BE为直径，
所以∠E=60°，∠ECB=90°，∠EBC=30°．
在Rt△BDF中，BD=2DF=2

3

，BF=3．
在Rt△BCE中，BC=BF+CF=5，BE=

5

cos30°

=

10 3

3

，
DE=BE-BD=

4 3

3

．
∵△=（

3

BD）²-4•BD•DE
=（

3

×2

3

）²-4×2

3

×

4 3

3

=36-32=4＞0，
又x₁+x₂=

3

BD＞0，x₁•x₂=BD•DE＞0，
∴方程有两个不相等的正实数根，故选D．

点评：本题是圆的问题、锐角三角函数与一元二次方程根的判别式的综合运用，一般需要把问题转化到直角三角形中，利用锐角三角函数设边长，求边长，再用判别式判断方程根的情况．