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    在直角坐标系中，抛物线y=-
    1
    2
    x2+mx-n与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．已知A、B两点都在x轴负半轴上（A左B右），△AOC与△COB相似，且tan∠CBO=4tan∠BCO．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）若此抛物线的对称轴与直线y=nx交于D．以D为圆心，作与x轴相切的圆，交y轴于M、N两点．求劣弧MN所对的弓形面积；
    （3）在y轴上是否存在一点F，使得FD+FA的值最小，若存在，求出△ABF的面积，若不存在，说明理由．
    （1）当x=0时，y=-n，
    ∴C（0，-n）．
    ∵tan∠CBO=
    OC
    OB
    ，tan∠BCO=
    OB
    OC
    ，
    ∴
    OC
    OB
    =4
    OB
    OC

    ∴OC=2OB
    ∴B（-
    n
    2
    ，0）
    ∵△AOC∽△COB
    ∴OC2=OA•OB
    ∴A（-2n，0）
    把A，B两点的坐标代入抛物线得：
    -
    1
    2
    •
    n2
    4
    -m•
    1
    2
    n-n=0
    -
    1
    2
    •4n2-2mn-n=0

    解方程组得：
    m=-
    5
    2
    n=2

    所以抛物线的解析式为：y=-
    1
    2
    x2-
    5
    2
    x-2；

    （2）抛物线的对称轴为：x=-
    5
    2
    ，
    y=2x，
    ∴D（-
    5
    2
    ，-5），
    如图：连接DM，DN，过点D作DH⊥MN于H，
    则：DM=5，DH=
    5
    2
    ，
    ∴∠MDH=60°，
    ∴∠MDN=120°
    S弓形=S扇形MDN-S△MDN
    =
    1
    3
    π•25-
    1
    2
    •
    5
    2
    •5
    		3

    =
    25π
    3
    -
    24
    		3
    4
    ；

    （3）点D关于y轴的对称点E（
    5
    2
    ，-5）
    点A（-4，0），
    AE的解析式为：y=-
    10
    13
    x-
    40
    13

    ∴F（0，-
    40
    13
    ）
    S△ABF=
    1
    2
    AB•OF=
    1
    2
    •3•
    40
    13
    =
    60
    13
    ．
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    相关习题

    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B，点B的坐标为（10，0），顶点M的坐标为（4，8），点P从点M出发，以每秒1个单位的速度沿线段MA向A点运动；点Q从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AB向B点运动，若P、Q同时出发，当其中的一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒钟．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）设△APQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，△APQ的面积是否有最大值？若有，请求出其最大值；若没有，请说明理由；
    （3）当t为何值时，△APQ为等腰三角形？

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线y=mx2-（m-5）x-5（m＞0）与x轴交于两点，A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），与y轴交于点C，且AB=6．
    （1）求抛物线与直线BC的解析式；
    （2）在所给出的直角坐标系中作出抛物线的图象．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，Rt△OAB的斜边OA在x轴的正半轴上，直角的顶点B在第一象限内，已知点A（10，0），△OAB的面积为20．
    （1）求B点的坐标；
    （2）求过O、B、A三点抛物线的解析式；
    （3）判断该抛物线的顶点P与△OAB的外接圆的位置关系，并说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知二次函数y=x2+bx+c图象的对称轴是直线x=2，且过点A（0，3）．
    （1）求b、c的值；
    （2）求出该二次函数图象与x轴的交点B、C的坐标；
    （3）如果某个一次函数图象经过坐标原点O和该二次函数图象的顶点M．问在这个一次函数图象上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    现有铝合金窗框料8米，准备用它做一个如图所示的长方形窗架，一般来说，当窗户总面积最大时，窗户的透光最好．那么，要使这个窗户透光最好，窗架的宽应为多少米此时窗户的总面积是多少平方米？

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE∥AC，交AB与点E，点F在AC上，DC=DF，若BC=3，EB=4，CD=x，CF=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB为18米，拱顶O离水面AB的距离OM为8米，货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF，如图建立平面直角坐标系．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）如果限定矩形的长CD为9米，那么矩形的高DE不能超过多少米，才能使船通过拱桥；
    （3）若设EF=a，请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示，并指出a的取值范围．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
    第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）所示；
    第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图（2）所示；
    第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图（3）所示；利用展开图（4）所示．

    探究：
    （1）△AEF是什么三角形？证明你的结论．
    （2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．
    （3）如图（5），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC边上的点A′处，x轴垂直平分DA，直线EF的表达式为y=kx-k （k＜0）
    ①问：EF与抛物线y=-
    1
    8
    x2     有几个公共点？
    ②当EF与抛物线只有一个公共点时，设A′（x，y），求
    x
    y
     的值．

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