Question

24、如图，A、B两工厂在河边CD的同侧，A、B两工厂到河边的距离分别为AC=3.5km，BD=12.5km，CD=12km，现要在河边CD上建一水厂P向A、B两工厂输送自来水，铺设水管时工程费为每千米2000元．请你设计一种方案：要求水厂P建在线段CD上且能使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的最省费用．

Answer 1

分析：将铺设水管的最省费用问题，转化成求最短路线问题．
本题并未明确指出是由水厂“分别”向A、B两两地输送自来水，也可以先经A村，再送到B村，或先经B村现到A村．
分情况讨论：（1）若建在C点，根据垂线段最短和两点之间线段最短，可确定最短距离是：AC+AB．
　　　　　　（2）若建在D点，根据垂线段最短和两点之间线段最短，可确定最短距离是：DB+AB．
　　　　　　（3）若建在线段CD（不包括C，D点），如图所示，根据对称可确定，最知道距离是：BA′．

解答：解：（1）如图所示，若建在C点，根据垂线段最短和两点之间线段最短，可确定最短距离是：D₁=AC+AB，
过点A做AE⊥BD，由AC=3.5km，BD=12.5km，CD=12km，
易得BE=BD-AC=12.5-3.5=9km，
AE=CD=12km，
在在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²，
即AB²=12²+9²，
AB=15km，
则最短距离是：AC+AB=3.5+15=18.5km，
工程费用为：18.5×2000=37000元．

（2）如图所示，若建在D点，根据垂线段最短和两点之间线段最短，可确定最短距离是：D₂=BD+AB，
∵BD=12.5，且由（1）可知AB=15km，
∴最短距离是：BD+AB=12.5+15=27.5km，
工程费用为：27.5×2000=55000元．
                                  
（3）如图所示，若建在线段CD（不包括C，D点），分别向A、B两两地输送自来水，作A点关于直线CD的对称点E，连接BE，与CD交于点P，则PA+PB最短，过E做EF∥CD与BD交于点F，由作图可知，
PA=EP，EF=CD=12km，AC=CE=DF=3.5KM，
所以PA+PB=EP+PB=EB，在Rt△BEF中，
EF=12km，BF=BD+DF=12.5+3.5=16KM，
由构股定理可得：BE²=BF²+EF²，
BE²=16²+12²，
解得：BE=20，
工程费用为：20×2000=40000元．
                             
故综合考虑水厂P应建在C点，铺设水管的最省，最底费用为37000元．

点评：本题主要考查求最短路线问题，要针对具体的情境和数据具体分析解决，不能简单套用，机械模仿．