Question

17．如图，矩形ABCD中，AB=2DA，以A为圆心，AB为半径的弧交DC于E，交AD的延长线于点F．
（1）求∠1的度数；
（2）当DA=2cm时，求阴影FDE的面积S₁及阴影ECB的面积S₂．（精确到0.01cm²）

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠AED=30°，进而求得∠1=60°；
（2）根据勾股定理求出DE，再根据阴影FDE的面积S₁=S_扇形AEF-S_△ADE、阴影ECB的面积S₂=S_矩形-S_△ADE-S_扇形ABE列式计算即可得解．

解答 解：（1）∵AB=2DA，AB=AE（扇形的半径），
∴AE=2DA，
∴∠AED=30°，
∴∠1=90°-30°=60°，
（2）∵DA=2cm
∴AB=2DA=4cm，
∴AE=4cm，
∴DE=$\sqrt{A{E}^{2}-D{A}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴阴影FDE的面积S₁=S_扇形AEF-S_△ADE=$\frac{60π•{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=$\frac{8}{3}$π-2$\sqrt{3}$．
阴影ECB的面积S₂=S_矩形-S_△ADE-S_扇形ABE=2×4-$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{30π×{4}^{2}}{360}$=8-2$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π．

点评 本题考查了矩形的性质，扇形的面积计算，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出∠AED=30°是解题的关键，也是本题的难点．