Question

（2010•卢湾区一模）已知正方形ABCD中，AB=5，E是直线BC上的一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线CD于点F．
（1）当E点在BC边上运动时，设线段BE的长为x，线段CF的长为y，
①求y关于x的函数解析式及其定义域；
②根据①中所得y关于x的函数图象，求当BE的长为何值时，线段CF最长，并求此时CF的长；
（2）当CF的长为时，求tan∠EAF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）①由题意易得△CEF∽△BAE，根据对应边成比例，可得y关于x的函数解析式，根据BC的长确定定义域即可；
②用配方法求得二次函数的最值即可；
（2）因为tan∠EAF=EF：AE，则由①的函数解析式求得BE的值，由相似三角形对应边对应成比例，即可求得EF：AE=CF：BE．
解答：解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°．
又∵∠CEA=∠CEF+∠AEF，∠CEA=∠BAE+∠B，
∴∠CEF=∠BAE．（1分）
又∵∠B=∠C=90°，
∴△CEF∽△BAE（1分）
∴，
∴，
∴（0＜x＜5）；（2分）
②（1分）
根据函数图象可知，抛物线，
开口向下，抛物线的顶点坐标是它的最高点、且在函数的定义域内．
所以当BE的长为时，CF的长最大为（2分）

（2）若E在边BC上，CF=y=，
∴，
解得x₁=2，x₂=3，
当BE=2时，；
当BE=3，时．
若E在CB延长线上时，同理可得△CEF∽△BAE，
∴，即，
∴y=x²+x，
∵CF=y=，，
解得：x₁=1，x₂=-6（舍去），
当BE=1时，tan∠EAF=．
当E点可在BC的延长线上，CE=1，
tan∠EAF=．
点评：此题综合考查了相似三角形的判定及性质的应用、二次函数的最值求法、直角三角形中锐角函数值的求法等知识点．