Question

正方形ABCD的边长为4，M为BC的中点，点N在CD边上，且∠BAM=∠MAN，则AN=

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质

专题：几何图形问题

分析：通过证Rt△ABM≌Rt△APM（HL）得到AB=AP=PM，∠3=∠4；则易证Rt△PMN≌Rt△CMN（HL），则∠5=∠6，PN=CN．则AN=AP+NP=AB+NC，所以通过△ABM∽△MCN可以求得NC的长度．

解答：解：如图，过点M作MP⊥AN于点P，连接MN．
∵M为BC的中点，
∴BM=CM．
∵∠BAM=∠MAN，即∠1=∠2，
∴BM=PM，
在Rt△ABM与Rt△APM中，

BM=PM AM=AM

，
∴Rt△ABM≌Rt△APM（HL），
∴AB=AP，∠3=∠4．
∴PM=CM．
易证Rt△PMN≌Rt△CMN（HL），则∠5=∠6，PN=CN．
∴∠4+∠5=∠3+∠6=90°，
∴∠1=∠6．
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCN，
∴

AB

MC

=

BM

CN

，即

4

2

=

2

NC

，解得 NC=1，
∴AN=AP+NP=AB+NC=4+1=5，即AN=5．
故答案是：5．

点评：本题综合运用了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质．难度较大，需要学生具备一定的推理能力．