Question

（2009•巢湖模拟）如图△ABC是⊙O内接三角形，点C是优孤AB上一点（点C与A、B不重合）设∠OAB=α，∠C=β．
（1）当α=36°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）求β，根据已知条件只需求得它所对的弧所对的圆心角的度数，根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求得；
（2）结合（1）中的计算过程，即可推导出两者之间的关系．
解答：解：（1）连OB，则OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=36°
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=108°
∴；

（2）α与β之间关系是α+β=90°．
证明：连OB，则OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=α
∴∠AOB=180°-2α
∴β=∠C=∠AOB=（180°-2α）=90°-α．
∴α+β=90°．
点评：此题是一道常规中档题，主要考查圆周角、圆心角关系定理．主要证法有三种：
（1）连接OB，构建圆周角与圆心角的关系；
（2）连OB，并作AB的垂线段OD，利用等腰三角形三线合一的性质、圆周角与圆心角的关系求解；
（3）延长AO交⊙O于E，连接BE，利用圆周角定理，把α与β放在同一个直角三角形中．