Question

17．已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），经过点（1，1）和（-1，0），下列结论：
①a-b+c=0；②b²＜4ac；③当a＜0时，抛物线与x轴必有一个交点在（1，0）的右侧；④抛物线的对称轴是直线x=-$\frac{1}{4a}$．
其中正确的结论是①③④（只填序号）

Answer 1

分析 ①由抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点（-1，0），得到a-b+c=0，故①正确；②由抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点（1，1），于是得到a+b+c=1，由于a-b+c=0，得到a+c=12，b=12．推出b²-4ac=14-4a（12-a）=14-2a+4a²=（2a-12）²≥0，于是得到故②错误；③当a＜0时，由b²-4ac=（2a-12）²＞0，得到抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x，根据根浴系数的关系得到x=1-$\frac{1}{2a}$＞1，即抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧，故③正确；④抛物线的对称轴公式即可得到x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{\frac{1}{2}}{2a}$=-$\frac{1}{4a}$，故④正确．

解答 解：①∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点（-1，0），∴a-b+c=0，故①正确；
②∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点（1，1），∴a+b+c=1，又a-b+c=0，
两式相加，得2（a+c）=1，a+c=12，
两式相减，得2b=1，b=12．
∵b²-4ac=14-4a（12-a）=14-2a+4a²=（2a-12）²，
当2a-12=0，即a=14时，b²-4ac=0，故②错误；
③当a＜0时，∵b²-4ac=（2a-12）²＞0，
∴抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x，
则-1•x=$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{1}{2}-a}{a}$=$\frac{1}{2a}$-1，即x=1-$\frac{1}{2a}$，
∵a＜0，∴-$\frac{1}{2a}$＞0，
∴x=1-$\frac{1}{2a}$＞1，
即抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧，故③正确；
④抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{\frac{1}{2}}{2a}$=-$\frac{1}{4a}$，故④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了二次函数的图象与系数的关系熟练掌握y=ax²+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=$\frac{b}{2a}$判断符号．（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b²-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b²-4ac＞0；1个交点，b²-4ac=0；没有交点，b²-4ac＜0，是解题的关键．