Question

9．已知△ABC内接于⊙O，BC为直径，动点D在⊙O上（与点A、B不重合），点E在弦BD上，直线AE交直径BC于点F，且∠AEB=∠BAD．
（1）如图1，求证：AF⊥BC；
（2）如图2，连接CD，当点D、A位于直径BC的两侧时，若∠CAD+∠CAE=∠ACB，求证：BF=CD+CF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DF，设AD、BC相交于点G，若sin∠CAD=$\frac{1}{4}$，FG=$\frac{5}{3}$，求线段DF的长．

Answer 1

分析 （1）由BC为直径，∠AEB=∠BAD，易证得∠D=∠BAF，又由∠C=∠D，可得∠BAF=∠C，即可得∠AFB=90°，证得AF⊥BC；
（2）首先在BC上截取BH=CD，连接AH，由∠CAD+∠CAE=∠ACB，可证得∠ABD=∠ADB，即可证得AB=AD，继而证得△ABH≌△ADC（SAS），则可得AH=AC，证得结论；
（3）首先连接OA，过D作DL⊥OC于点L，易证得△AGO∽△DGC，然后由相似三角形的对应边成比例，可得$\frac{CD}{OA}$=$\frac{CG}{OG}$，又由BC是⊙O的直径，可得∠BDC=90°，即可知sin∠CAD=sin∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{1}{4}$，然后设CD=x，则BC=4x，可得方程$\frac{\frac{3}{2}x-\frac{5}{3}}{\frac{1}{2}x+\frac{5}{3}}$=$\frac{x}{2x}$，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∵∠AEB=∠D+∠DAF，∠BAD=∠BAF+∠DAF，∠AEB=∠BAD，
∴∠D+∠DAF=∠BAF+∠DAF，
∴∠D=∠BAF，
∵∠D=∠C，
∴∠BAF=∠C，
∴∠BAF+∠ABC=90°，
∴∠AFB=90°，
∴AF⊥BC；

（2）如图2，在BC上截取BH=CD，连接AH，
∵∠CAE+∠BAE=90°，∠ABC+∠BAE=90°，
∴∠CAE=∠ABC，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠ACB=∠CAE+∠CAD=∠ABC+∠CBD=∠ABD，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
在△ABH和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH=CD}\\{∠ABH=∠ADC}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ADC（SAS），
∴AC=AH，
∵AF⊥BC，
∴CF=HF，
∴BF=BH+HF=CD+CF；

（3）如图3，连接OA，过D作DL⊥OC于点L，
由（2）可知AB=AD，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AD}$，
∴∠ABD=∠ACB，
∵∠ABD+∠ACD=180°，
∴∠ACB+∠ACB+∠BCD=180°，即2∠ACB+∠BCD=180°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACB，
∴∠AOC+2∠ACB=180°，
∴∠AOC=∠BCD，
∴OA∥CD，
∴△AGO∽△DGC，
∴$\frac{CD}{OA}$=$\frac{CG}{OG}$，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴sin∠CAD=sin∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{1}{4}$，
设CD=x，则BC=4x，
∴OC=OA=2x，
∵∠AOC+∠OAF=90°，∠DBC+∠BCD=90°，
∴∠OAF=∠DBC，
∴sin∠OAF=$\frac{OF}{OA}$=$\frac{1}{4}$，
∴OF=$\frac{1}{2}$x
∴OG=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{3}$，CG=2x-（$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{3}$）=$\frac{3}{2}$x-$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{\frac{3}{2}x-\frac{5}{3}}{\frac{1}{2}x+\frac{5}{3}}$=$\frac{x}{2x}$，
解得x=2，
∴CG=$\frac{4}{3}$，
∴FL=$\frac{4}{3}$+$\frac{5}{3}$=3
∵∠CDL+∠LDB=90°，∠LDB+∠DBC=90°，
∴∠CDL=∠DBC
∴sin∠CDL=$\frac{CL}{CD}$=$\frac{1}{4}$，
∴CL=$\frac{1}{2}$，
∴FL=$\frac{5}{2}$，
∴DL²=$\frac{15}{4}$，FL²=$\frac{25}{4}$，
∴DF=$\sqrt{10}$．

点评 此题属于圆的综合题．考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及锐角三角函数的知识．注意准确作出辅助线、掌握方程思想的应用是解此题的关键．