Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=4

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，∠C=45°，点P是BC边上的一个动点．
（1）当BP的长为

 

时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形；
（2）当P在BC边上运动的过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．

Answer 1

分析：（1）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE，有两种情况：①当P在E的左边，利用已知条件可以求出BP的长度；②当P在E的右边，利用已知条件也可求出BP的长度；
（2）以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．由（1）知，当BP=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，根据已知条件分别计算一组邻边证明它们相等即可证明它是菱形．

解答：解：（1）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE，有两种情况：
①当P在E的左边P′的位置时，
∵E是BC的中点，
∴BE=6，
∴BP=BE-PE=6-5=1；
②当P在E的右边P″的位置时，
BP=BE+PE=6+5=11；
故当x的值为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；

（2）由（1）知，当BP=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形
∴EP=AD=5，
过D作DN⊥BC于N
则DN=CN=4，
∴NP=3．
∴DP=

DN2+NP2

=

42+32

=5，
∴EP=DP，
故此时?PDAE是菱形．
即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．

点评：本题是一个开放性试题，利用梯形的性质平行四边形的性质、菱形的性质等知识来解决问题，要求学生对于这些知识比较熟练，综合性很强．