Question

如图：PA是⊙O的切线，A为切点，PBC是过圆心的割线，PA=10，PB=5，则tan∠PAB的值为

 

．

Answer 1

分析：设出BC为x，由BP=2，根据BC+BP表示出PC，再由PA的长，利用切割线定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到BC的长；由PA为圆的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到一对角相等，再由一对公共角，根据两对对应角相等的两三角形相似可得△PBA∽△PAC，根据相似得比例，把PB和PA的长代入得到AC=2AB，从而得出tan∠PAB的值．

解答：解：设BC=x，PC=BC+BP=x+5，PA=4，
∵PA为⊙O的切线，PC为⊙O的割线，
∴PA²=PB•PC，即100=5（x+5），
解得：x=15，
则BC=15；
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAB=∠C，又∠P=∠P，
∴△PBA∽△PAC，
∴

AB

AC

=

PB

PA

，又PB=5，PA=10，
∴AC=2AB，
∴tan∠PAB=tan∠C=

AB

AC

=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题综合考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，切割线定理，其中见了有切线，圆心切点连，利用切线性质将相切转化为垂直，即构造直角三角形，通过列方程的方法来解决问题中所需的量，此方法称为“构图建模计算法”，要求学生把所学知识融汇贯穿，灵活运用．本题的第三问中注意利用转化的思想来解决角度之间的关系．