Question

【题目】如图①，在平面直角坐标系中，已知，四点，动点以每秒个单位长度的速度沿运动（不与点、点重合），设运动时间为（秒）．

（1）求经过、、三点的抛物线的解析式；

（2）点在（）中的抛物线上，当为的中点时，若，求点的坐标；

（3）当在上运动时，如图②．过点作轴，垂足为，，垂足为．设矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并求出的最大值；

（4）点为轴上一点，直线与直线交于点，与轴交于点．是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）或；（3）或或或

【解析】

（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c，将点A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式即可；

（2）由已知易得点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，点P的纵坐标是1，则有1＝，即可求P；

（3）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝﹣x+2，直线AQ的解析式 ，求出点，，由勾股定理可得，，，分三种情况讨论△HOK为等腰三角形即可；

解：（1）设函数解析式为c，

将点代入解析式可得

，

，

；

（2），

，

点为的垂直平分线与抛物线的交点，

，

∴点的纵坐标是，

，

或，

∴或；

（3），

t，

，

，

；

当时，最大值为；

（3）设点，直线的解析式，

直线的解析式，

∴，，

∴，，，

①时，，

，

或；

②时，，

，

或；

③K时，，不成立；

综上所述：或或或；