Question

17．在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠B=60°，BE=2CE，AB=4，求四边形AECF的周长和面积．

Answer 1

分析 （1）先由平行四边形的性质可得：AD∥BC、∠BAD=∠BCD，进而可得AF∥CE，然后由AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，可得∠BAE=∠DAE=$\frac{1}{2}∠BAD$，∠BCF=∠DCF=$\frac{1}{2}∠BCD$，从而可得∠DAE=∠BCF，然后由AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等，可得∠DAE=∠BEA，从而可得∠BEA=∠BCF，然后由同位角相等，两直线平行即可判断AE∥CF，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可证明四边形AECF是平行四边形；
（2）①由（1）知，∠BEA=∠BAE，然后由∠B=60°，可判断△ABE是等边三角形，可得AB=BE=AE=4，然后由BE=2CE，可得CE=2，进而可求四边形AECF的周长；
②过点A作AG⊥BC，垂足为G，在等边三角形ABE中，由等边三角形的性质可求EG的值，然后由勾股定理可求AG的值，然后根据平行四边形的面积公式即可计算四边形AECF的面积．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC、∠BAD=∠BCD，
∴∠DAE=∠BEA，AF∥EC，
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAE=∠DAE=$\frac{1}{2}∠BAD$，∠BCF=∠DCF=$\frac{1}{2}∠BCD$，
∴∠DAE=∠BCF，
∴∠BEA=∠BCF，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：①∠BAE=∠DAE，∠DAE=∠BEA，
∴∠BEA=∠BAE，
∵∠B=60°，∠BEA+∠BAE+∠B=180°，
∴∠BEA=∠BAE=$\frac{180°-∠B}{2}$=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=BE=AE=4，
∵BE=2CE，
∴CE=2，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴AF=EC=2，AE=CF=4，
∴四边形AECF的周长为：AF+EC+AE+CF=12；
②过点A作AG⊥BC，垂足为G，如图所示，

∵△ABE是等边三角形，AG⊥BE，
∴GE=$\frac{1}{2}$BE=2，
在Rt△AGE中，由勾股定理得：
AG=$\sqrt{A{E}^{2}-G{E}^{2}}$=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$，
∴S?AECF=EC•AG=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质以及判定方法，平行四边形的周长及面积的计算，（1）证明∠AEB=∠FCB，得到AE∥CF是证明的关键；（2）证明△ABE是等边三角形是解题的关键．