Question

13．已知C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE．且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=α，△ACD绕点C旋转，直线AE与BD交于点F．
（1）如图1，若∠ACD=60°．求证：AE=BD，∠AFB=120°；
（2）如图2，若∠ACD=α，求证：∠AFB=180°-α；
（3）如图3，试探究∠AFB与α的数量关系，并予以证明．

Answer 1

分析 （1）如图1，首先证明△BCD≌△ECA，根据全等三角形的性质得到AE=BD，∠EAC=∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数；
（2）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE=∠CDB，从而得出∠DFA=∠ACD，得到结论∠AFB=180°-α．
（3）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB=180°-α．

解答 解：（1）∵△ACD是等边三角形，△ECB是等边三角形，
∴AC=DC，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE与△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB；
∴AE=BD，∠EAC=∠BDC，
∵∠AFB是△ADF的外角．
∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°；

（2）∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．
∴∠ACE=∠DCB．
∴∠CAE=∠CDB．
∴∠DFA=∠ACD．
∴∠AFB=180°-∠DFA=180°-∠ACD=180°-α；

（3）∠AFB=180°-α；
证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
∴∠CBD=∠CEA，
由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α．
∴∠AFB=180°-∠EFB=180°-α．

点评 本题考查了全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识，本题还综合了旋转的知识点，是一道综合性比较强的题，要熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理．