Question

11．如图，已知?ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：①DB=$\sqrt{2}$BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④BH=HG．
其中正确的结论有①②③（只填正确结论的序号）．

Answer 1

分析 求出BE=DE，由勾股定理得出BD²=DE²+BE²，即可判断①；求出∠DHF=∠C，根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠A=∠C，即可判断②；证△BHE≌△DCE，推出BH=DC，根据AB=CD即可判断③；根据AB=DC=BH和已知判断④即可．

解答 解：∵DH⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∵∠DBC=45°，
∴∠BDE=45°=∠DBE，
∴BE=DE，
由勾股定理得：BD²=DE²+BE²，
即BD=$\sqrt{2}$DE，∴①正确；
∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠DEC=∠HFD=90°，
∴∠DHF+∠EDC=90°，∠EDC+∠C=90°，
∴∠DHF=∠C，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠A=∠C，
∵∠DHF=∠BHE，
∴∠A=∠BHE，∴②正确；
在△BHE和△DCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠HBE=∠EDC}\\{BE=DE}\\{∠BEH=∠DEC}\end{array}\right.$
∴△BHE≌△DCE，
∴BH=DC，
∵AB=CD，
∴BH=AB，∴③正确；
∵根据已知不能推出BH=HG，∴④错误；
故答案为：①②③．

点评 本题考查了平行四边形的性质等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，综合性比较强，有一定的难度．