Question

【题目】如图一所示，△ABC是等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，D是AB边上的一点，连接CD，过A作AE⊥CD，E为垂足，AF⊥AE，且AF＝AE．连接FB

（1）求证：CE＝FB；

（2）如图二，延长FE交BC于G点，如果G点正好为BC的中点，求证：EG+EA＝FB．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

（1）由“HL”可证Rt△AEC≌Rt△AFB，可得CE=FB；

（2）过点G作GH⊥EG，交CD于H，连接AG，由全等三角形的性质可得AF=AE，∠BAF=∠CAE，可求∠AFE=∠AEF=∠GEH=45°，可得EH=EG，由“SAS”可证△AEG≌△CHG，可得AE=CH，即可得结论．

证明：（1）∵AE⊥CD，AF⊥AE，

∴∠AFB＝∠AEC＝90°，

∵AF＝AE，AB＝AC，

∴Rt△AEC≌Rt△AFB（HL）

∴CE＝FB；

（2）如图（二），过点G作GH⊥EG，交CD于H，连接AG，

∵Rt△AEC≌Rt△AFB，

∴AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，

∵∠CAE+∠DAE＝90°，

∴∠BAF+∠DAE＝90°，

∴∠FAE＝90°，且AF＝AE，

∴∠AFE＝∠AEF＝45°，

∴∠GEH＝45°，且GH⊥EG

∴∠GEH＝∠GHE＝45°，

∴EG＝GH，

∴EH＝EG，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点G是BC中点，

∴AG＝GC，AG⊥GC，

∴∠AGC＝∠EGH＝90°，

∴∠AGE＝∠CGH，EG＝GH，AG＝GC，

∴△AEG≌△CHG（SAS）

∴AE＝CH，

∴BF＝CE＝EH+HC＝EG+AE．