【题目】已知关于x的一元二次方程.
(1)证明该方程一定有两个不相等的实数根;
(2)设该方程两根为x1、x2(x1<x2).
①当时,试确定y值的范围;
②如图,平面直角坐标系中有三点A、B、C,坐标分别为(x1,0)、(x2,3)、(7,0).以点C为圆心,2个单位长度为半径的圆与直线AB相切,求n的值.
【答案】(1)见解析;(2)①当n<-3时,y<-3;②n= -
【解析】
(1)根据根的判别式即可证明;
(2)①解方程得,方程两根为3和3-,由n<-3得到<0,故3-,根据y=x2(n+x1) =3n+6,根据一次函数的性质即可求解;
②作CD⊥AB于D,DH⊥AC于H.由①知,A(3,0),由C(7,0),得CA=4,由圆C与直线AB相切,得CD=2,可得AD=2.利用S△ADC=,求得DH=,再得到点D坐标为(6,),求出直线AB的函数关系式为y=,将点B的坐标代入直线方程得n= -,故可求解.
(1)因为△=9>0,
所以该方程一定有两个不相等的实数根;
(2)①
故方程两根为3和3-,
因为n<-3,所以n+3<0,
所以<0,
所以3-.
所以x1=3,x2=3-.
故y=x2(n+x1)==3n+6,
y是n的一次函数,
因为3>0,所以y随n的增大而增大,
所以当n<-3时,y<-3.
②作CD⊥AB于D,DH⊥AC于H.
由①知,A(3,0),因为C(7,0),
所以CA=4,
因为圆C与直线AB相切,
所以CD=2,
可得AD==2.
因为S△ADC=,
即2,所以DH=,∴AH==3
∴点D坐标为(6,).
设直线AB的函数关系式为y=kx+b,代入A(3,0)、D(6,)
得,解得,.
所以直线AB的函数关系式为y=.
将点B的坐标代入直线方程得,×=3,
解得,n= -,经检验, n= -是方程的解,
所以n= -
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【题目】关于x的二次函数与x轴有交点.若关于x的一元二次方程的两根分别是 ,。
(1)求二次函数的解析式;
(2)设A(a,c)和B(b,c)是抛物线上两点,且AB=4,a<b,求a、b、c的值.
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【题目】抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1,部分图象如图所示,下列判断中:
①4ac<b2;
②a>b>c;
③一次函数y=ax+c的图象不经第四象限;
④m(am+b)+b<a(m是任意实数);
⑤3b+2c>0.
其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;
(2)试探究t为何值时,△BPQ的面积是cm2;
(3)直接写出t为何值时,△BPQ是等腰三角形;
(4)连接AQ,CP,若AQ⊥CP,直接写出t的值.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,E是AB上一点,以CE为直径的⊙O交BC于点F,连接DO,且∠DOC=90°.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若DF=2,DC=6,求BE的长.
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【题目】如图1,一个扇形纸片的圆心角为90°,半径为6.如图2,将这张扇形纸片折叠,使点A与点O恰好重合,折痕为CD,图中阴影为重合部分,则阴影部分的面积为_____.(答案用根号表示)
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【题目】问题提出:如图,已知:线段AB,试在平面内找到符合条件的所有点C,
使∠ACB=30°。(利用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不写作法).
尝试解决:为了解决这个问题,下面给出一种解题思路:先作出等边三角形AOB,然后以点O 为圆心,OA长为半径作⊙O,则优弧AB上的点即为所要求作的点(点A、B除外),根据对称性,在AB的另一侧符合条件的点C易得。请根据提示,完成作图.
自主探索:在平面直角坐标系中,已知点A(3,0)、B(-1,0),点C是y轴上的一个动点,当∠BCA=45°时,点C的坐标为 .
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【题目】如图,矩形中,,,点为对角线上异于点的一个动点,联结,将沿所在的直线翻折,使得点落在点的位置
(1)当时,求点到直线的距离。
(2)联结交于,求当和相似时,线段的长。
(3)当时,请直接写出此时的面积。
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