Question

6．如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．
（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；
（2）求证：AE+BF=AF．

Answer 1

分析 （1）由正方形ABCD的边长为4，在Rt△ABF中，由AB=2FB，即可求得BF的长，然后由勾股定理求得AF的长，又由AG=AD，即可求得FG的长；
（2）先在BC上截取BM=AE，然后证得△AGE≌△BAM，由全等三角形的对应角相等、同角的余角相等，即可求得∠FAM=∠AMB，进而得出AE+BF=AF．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，
∴∠ABF=90°，AB=AD=4，
∵在Rt△ABF中，AB=2FB，
∴FB=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AG=AD=4，
∴FG=AF-AG=2$\sqrt{5}$-4；

（2）证明：在BC上截取BM=AE，连接AM，
∵AG=AD，AB=AD，
∴AG=AB，
∵AE⊥AF，
∴∠EAG=∠ABM=90°，
在△AGE和△BAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=BA}\\{∠GAE=∠ABM}\\{AE=BM}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△BAM（SAS），
∴∠AMB=∠AEG，∠BAM=∠AGD，
∵AG=AD，
∴∠AGD=∠ADG，
∴∠BAM=∠ADG，
∵∠BAD=90°，
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠FAB=∠EAD，
∴∠AEG=∠EAD+∠ADG=∠FAB+∠BAM=∠FAM，
∴∠FAM=∠AMB，
∴AF=FM=BF+BM=BF+AE．

点评 此题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解题时注意掌握辅助线的作法，构造全等三角形是解决问题的关键．