Question

已知：如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，连结CE．
（1）求证：∠BCE=∠ACB-∠A；
（2）如果∠ACB=90°，∠A=30°，求证：AE=BE．

Answer 1

证明：（1）∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴∠ACE=∠A，
∴E=∠ACB-∠ACE=∠ACB-∠A，
即：∠BCE=∠ACB-∠A；

（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠BCE=90°-30°=60°，
∠B=90°-30°=60°，
∴∠BCE=∠B=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴CE=BE，
∵AE=CE，
∴AE=BE．
分析：（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=CE，再利用等边对等角求出∠ACE=∠A，整理即可得证；
（2）根据（1）的结论求出∠BCE，再根据直角三角形两锐角互余求出∠B，然后求出△BCE是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出CE=BE，即可得证．
点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，等边对等角的性质，等边三角形的判断出与性质，准确识图并熟记性质是解题的关键．