Question

20．如图，点D，E分别是ABC的边BC，AC上的点，BE，AD交于F，已知AB=AC，∠BAC=∠AFE=2∠ACB=2α，G为AC上的点，∠AEB=∠CGD．探究线段AE，GC的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 过C作CH⊥AC交AD的延长线与H，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据已知条件和三角形的内角和得到∠BAC=∠AFE=90°，∠ABC=∠ACB=45°，由余角的性质得到∠ABF=∠CAD，推出△ABE≌△ACH，根据全等三角形的性质得到AE=CH，∠AEB=∠H，等量代换得到∠DGC=∠H，证得△DGC≌△CHD，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：AE=CG，
理由：过C作CH⊥AC交AD的延长线与H，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=∠AFE=2∠ACB=2α，
∴∠ABC=∠ACB=α，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴α+α+2α=180°，
∴α=45°，
∴∠BAC=∠AFE=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠DCH=45°，
∵∠ABE+∠BAF=∠CAD+∠BAF=90°，
∴∠ABF=∠CAD，
在△ABE与△AHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠HAC}\\{∠BAC=∠ACH=90°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACH，
∴AE=CH，∠AEB=∠H，
∵∠AEF=∠DGC，
∴∠DGC=∠H，
在△DGC与△CHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GCD=∠HCD}\\{∠DGC=∠H}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DGC≌△CHD，
∴CG=CH，
∴AE=CG．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．