Question

如图所示，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，连接AE、CG．
（1）观察图形，猜想AE与CG之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）若将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使正方形DEFG的一部分落在正方形ABCD的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，则题（1）中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必说明理由；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，然后由全等三角形的性质，即可证得AE=CG，AE⊥CG．
（2）首先根据题意画出图形，然后延长CG交AE于点H，交AD于点G，由四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，然后由全等三角形的性质，即可证得AE=CG，AE⊥CG．

解答：解：（1）AE=CG，AE⊥CG．
理由：如图1，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴AD=CD，ED=GD，∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，

AD=CD ∠ADE=∠CDG ED=GD

，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG，∠EAD=∠GCD，
∵∠AGH=∠CGD，
∴∠AHG=∠CDG=90°，
∴AE⊥CG；

（2）如图2，AE=CG，AE⊥CG．
理由：如图2，延长CG交AE于点H，交AD于点G，
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴AD=CD，ED=GD，∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，

AD=CD ∠ADE=∠CDG ED=GD

，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG，∠EAD=∠GCD，
∵∠AGH=∠CGD，
∴∠AHG=∠CDG=90°，
∴AE⊥CG．

点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．