Question

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB=3，AD=2，经过点C的直线y=x-2与x轴、y轴分别交于点E、F．
（1）求：①点D的坐标；②经过点D，且与直线FC平等的直线的函数表达式．
（2）在平面直角坐标系内确定点M，使得以点M、D、C、E为顶点四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）①可先求得C点坐标，从而可求得OB的长，则可求得OA的长，可求得D点坐标；
②由D点的坐标利用待定系数法可求得直线的函数表达式；
（2）可先求得E点的坐标，当CD为边时，则可知M点在x轴上，且ME=DC，则可求得M点坐标；当CD为对角线时，可求得CD的中点坐标，结合E点坐标可求得M点坐标．

解答 解：
（1）①∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=2，即C点的纵坐标为2，
∵点C在直线y=x-2上，
∴当y=2时，可求得x=4，
∴B（4，0），即OB=4，
∴OA=OB-AB=4-3=1，
∴D（1，2）；
②∵直线CF解析式为y=x-2，
∴可设与CF平行的直线的解析式为y=x+m，
把D点坐标代入可得1+m=2，解得m=1，
∴经过点D，且与直线FC平等的直线的函数表达式为y=x+1；

（2）在y=x-2中，令y=0可求得x=2，
∴E（2，0），
由矩形的性质可知CD=AB=3，
①当CD为平行四边形的边时，则有ME∥CD且ME=CD=3，
∴点M在x轴上，
设M（x，0），则ME=|x-2|，
∴|x-2|=3，解得x=-1或x=5，
∴M（-1，0）或（5，0）；
②当CD为对角线时，
∵D（1，2），C（4，2），
∴线段CD的中点为（1.5，2），
设M（x，y），且E（2，0），
∴x+2=2×1.5，y+0=2×2，解得x=1，y=4，
∴M（1，4）；
综上可知M点的坐标为（-1，0）或（5，0）或（1，4）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）①中求得B点坐标，求得OA的长是解题的关键，在（1）②中注意平行直线的解析式之间的关系，在（2）中确定出M点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．