Question

12．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，且sin∠DAB=$\frac{3}{5}$，DB=3$\sqrt{2}$．求：
（1）AB的长；
（2）∠CAB的余切值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△BDE中，求得BE=DE=3，在Rt△ADE中，得到AE=4，根据线段的和差即可得到结论；
（2）作CH⊥AB于H，根据已知条件得到BC=6$\sqrt{2}$，由等腰直角三角形的性质得到BH=CH=6，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：（1）在Rt△BDE中，DE⊥AB，BD=3$\sqrt{2}$∠ABC=45°，
∴BE=DE=3，
在Rt△ADE中，sin∠DAB=$\frac{3}{5}$，DE=3，
∴AE=4，AB=AE+BE=4+3=7；

（2）作CH⊥AB于H，
∵AD是BC边上是中线，BD=3$\sqrt{2}$，
∴BC=6$\sqrt{2}$，
∵∠ABC=45°，
∴BH=CH=6，
∴AH=7-6=1，
在Rt△CHA中，cot∠CAB=$\frac{AH}{CH}$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．