Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线轴，且直线l与抛物线和y轴分别交于点A，B，C，点D为抛物线的顶点.若点E的坐标为，点A的横坐标为1.

(1)线段AB的长度等于________；

(2)点P为线段AB上方抛物线上的一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值；

(3)在(2)的条件下，删除抛物线在直线PH左侧部分图象并将右侧部分图象沿直线PH翻折，与抛物线在直线PH右侧部分图象组成新的函数M的图象.现有平行于FH的直线，若直线与函数M的图象有且只有2个交点，求t的取值范围(请直接写出t的取值范围，无需解答过程).

Answer 1

【答案】(1)2 (2) (3) t的取值范围为：t＜．

【解析】

（1）先求抛物线y=-x2+4x的对称轴，由于已知点A的坐标，再利用对称性可求点B坐标；从而得AB的长度；
（2）先根据B和E坐标得出BE的解析式，然后设与其平行的直线为y=x+b，过点H作y=-x的垂线，可求得HF和FO，从而得解；
（3）可根据顶点位置的变动，得出抛物线y=-x2+4x右侧部分图象沿直线PH翻折后抛物线的解析式；由（2）FH直线解析式，平行于FH的直线l1：y=mx+t，其m值可求；令y=mx+t与翻折后抛物线相切，可求得t的临界值，结合图象可得最后答案．

解：（1）抛物线y＝﹣x2+4x的对称轴为直线．

∵点A的横坐标为1．代入y＝﹣x2+4x得：y＝3，

∴A（1，3），由抛物线的对称性得：点B的坐标为（3，3）．

∴AB＝2．

故答案为：2．

（2）∵B（3，3），E（1，1），

∴直线BE解析式为y＝x，作l∥BE，且与抛物线相切，则可设l的解析式为：y＝x+b．根据该直线与抛物线相切，列一元二次方程，令其判别式为0，可求得b的值，从而得点P的坐标，进而得点H坐标及PH长，

∴x+b＝﹣x2+4x，即x2﹣3x+b＝0，

∴△＝9﹣4b＝0，b＝，

∴x2﹣3x+＝0，

∴切点为：x＝，y＝，

∴PH＝﹣3＝

过点H作y＝﹣x的垂线，交y＝﹣x于点G，交y轴于点F，则GF＝FO，∠FGO＝∠OFG＝∠CFH＝∠CHF＝45°，

．

∴PH+HF+FO的最小值为：．

（3）在（2）的条件下，平行于FH的直线l1：y＝mx+t，若直线l1与函数M的图象有且只有2个交点，

∵∠CFH＝45°，l1∥FH，

∴m＝1，y＝x+t，

∵抛物线y＝﹣x2+4x的顶点D为（2，4），点H为（，3）点P为（，），

∴抛物线y＝﹣x2+4x右侧部分图象沿直线PH翻折后抛物线顶点为（1，4），其解析式为y＝﹣x2+2x+3．

当直线y＝x+t与抛物线y＝﹣x2+2x+3相切时，x+t＝﹣x2+2x+3，

∴x2﹣x+t﹣3＝0，△＝1﹣4（t﹣3）＝13﹣4t＝0

∴t＝；

∴t＜时直线l1与函数M的图象有且只有2个交点．

∴t的取值范围为：t＜．