Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AB=8，BC=14，点E、F分别在边AB、CD上，EF∥AD，点P与AD在直线EF的两侧，∠EPF=90°，PE=PF，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE=x，MN=y．
（1）求边AD的长；
（2）如图，当点P在梯形ABCD内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．

Answer 1

解：（1）过D作DH⊥BC，DH与EF、BC分别相交于点G、H，
∵梯形ABCD中，∠B=90°，
∴DH∥AB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABHD是矩形，
∵∠C=45°，
∴∠CDH=45°，
∴CH=DH=AB=8，
∴AD=BH=BC-CH=6．

（2）∵DH⊥EF，∠DFE=∠C=∠FDG=45°，
∴FG=DG=AE=x，
∵EG=AD=6，
∴EF=x+6，
∵PE=PF，EF∥BC，
∴∠PFE=∠PEF=∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN，
过点P作QR⊥EF，QR与EF、MN分别相交于Q、R，
∵∠MPN=∠EPF=90°，QR⊥MN，
∴PQ=EF=，PR=MN=，
∵QR=BE=8-x，
∴，
∴y关于x的函数解析式为y=-3x+10．定义域为1≤x＜．

（3）当点P在梯形ABCD内部时，由MN=2及（2）的结论得2=-3x+10，AE=，
∴（AD+EF）•AE=，
当点P在梯形ABCD外部时，由MN=2及与（2）相同的方法得：，AE=x=4，
∴（AD+EF）•AE=．
分析：（1）过D作DH⊥BC，DH与EF、BC分别相交于点G、H，从而判定四边形ABHD是矩形，在RT△DHC中求出CH的长，利用AD=BH=BC-CH可得出AD的长．
（2）首先确定PM=PN，过点P作QR⊥EF，QR与EF、MN分别相交于Q、R，根据∠MPN=∠EPF=90°，QR⊥MN，可表示出PQ、PR，继而可得出y关于x的函数解析式，也能得出定义域．
（3）①当点P在梯形ABCD内部时，由MN=2及（2）的结论得2=-3x+10，AE=，可求得梯形的面积，②当点P在梯形ABCD外部时，由MN=2及与（2）相同的方法得：，AE=x=4，可求得梯形的面积．
点评：本题考查梯形及有实际问题列一次函数关系式的知识，属于综合性较强的题目，难度较大，对于此类题目要学会由小及大，将所求的问题缩小，一步一步求解．