Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，AC⊥AB，点E、F分别是BC，AD上的点，且BE＝DF．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）若四边形AECF是菱形时，请求出AE的长度；

（3）若四边形AECF是矩形时，请直接写出BE的长度．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）3.6．

【解析】

（1）首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，再证明AF＝EC，可证明四边形AECF是平行四边形；

（2）由菱形的性质得出AE＝CE，得出∠EAC＝∠ECA，由角的互余关系证出∠B＝∠BAE，得出AE＝BE，即可得出结果；

（3）由勾股定理求出AC，由面积法求出AE＝＝4.8，再由勾股定理即可得出BE的长．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵BE＝DF，

∴AF＝EC，

∴四边形AECF是平行四边形；

（2）解：∵四边形AECF是菱形，

∴AE＝CE，

∴∠EAC＝∠ECA，

∵AC⊥AB，

∴∠BAC＝90，

∴∠B+∠ECA＝90，∠BAE+∠EAC＝90，

∴∠B＝∠BAE，

∴AE＝BE，

∴AE＝BE＝CE＝BC＝5；

（3）解：∵AC⊥AB，

∴AC＝＝＝8，

∵四边形AECF是矩形，

∴∠AEC＝90°，

∴AE⊥BC，

∴AE＝＝＝4.8，

∴BE＝＝＝3.6．