如图,已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D.将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴与x轴的正半轴于E、F两点.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;
(3)连接EF,设△BEF与△BFC的面积之差为S,问:当CF为何值时S最小,并求出这个最小值.
解:(1)由题意可得A(0,2),B(2,2),C(3,0),
设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
则 解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+
x+2.
(2)设抛物线的顶点为G,则G(1,).如图,过点G作GH⊥AB,垂足为H,则AH=BH=1,GH=
-2=
.
∵EA⊥AB,GH⊥AB,
∴EA∥GH.
∴GH是△BEA的中位线,
∴EA=2GH=.
过点B作BM⊥OC,垂足为M,则BM=OA=AB.
∵∠EBF=∠ABM=90°,
∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF,
∴Rt△EBA≌Rt△FBM,∴FM=EA=.
∵CM=OC-OM=3-2=1,∴CF=FM+CM=.
(3)设CF=a,则FM=a-1或1-a,同时0<a<3
∴BF2=FM2+BM2=(a-1)2+22=a2-2a+5.
∵△EBA≌△FBM,∴BE=BF.
则S△BEF=BE×BF=
BF2=
(a2-2a+5),
又∵S△BFC=FC×BM=
×a×2=a,
∴S=(a2-2a+5)-a=
a2-2a+
,
即S=(a-2)2+
,
∴当a=2(在0<a<3范围内)时,S最小值=.
科目:初中数学 来源: 题型:
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
9
| ||
2 |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com