阅读材料:如图①,△ABC与△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=900,且点D 在AB边上,AB、EF的中点均为O,连结BF、CD、CO,显然点C、F、O在同一条直线上,可以证明△BOF≌△COD,则BF=CD。
解决问题:
(1)将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②,猜想此时线段BF与CD的数量关系,并证明你的结论;
(2)如图③,若△ABC与△DEF都是等边三角形,AB、EF的中点均为O,上述(1)中结论仍然成立吗?如果成立,请说明理由;如果不成立,请求出BF与CD之间的数量关系;
(3)如图④,若△ABC与△DEF都是等腰三角形,AB、EF的中点均为O,且顶角∠ACB=∠EDF=α,请直接写出的值(用含α的式子表示出来)。
(1)根据等腰直角三角形和旋转的性质,由SAS证出△BOF≌△COD,即可得出结论。
(2)不成立。根据等边三角形和旋转的性质,证出△BOF∽△COD,即可得出结论。
(3)。
【解析】
分析:(1)根据等腰直角三角形和旋转的性质,由SAS证出△BOF≌△COD,即可得出结论。
(2)根据等边三角形和旋转的性质,证出△BOF∽△COD,即可得出结论。
(3)如图,连接CO、DO,仿(2)可证△BOF∽△COD,从而。
由点O是AB的中点,可得CO⊥AB,
∴。∴。
解:(1)相等。证明如下:
如图,连接CO、DO,
∵△ABC是等腰直角三角形,点O是AB的中点,
∴BO=CO,CO⊥AB。∴∠BOC=900。
同理,FO=DO,∠DOF=900。
∴∠BOF=900+∠COF,∠COD=900+∠COF。
∴∠BOF=∠COD。∴△BOF≌△COD(SAS)。
∴BF=CD。
(2)不成立。
如图,连接CO、DO,
∵△ABC是等边三角形,∴∠CBO=600。
∵点O是AB的中点,∴CO⊥AB,即∠BOC=900。
∴在Rt△BOC中,。
同理,∠DOF=900,。∴。
又∵∠BOF=900+∠COF,∠COD=900+∠COF。
∴∠BOF=∠COD。∴△BOF∽△COD。∴。
∴。
(3)。
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x1+x2 |
2 |
y1+y2 |
2 |
x1+x2 |
2 |
y1+y2 |
2 |
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(x2-x1)2+(y2-y1)2 |
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