【题目】已知在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,点P是直线AB上任意一点,联结PC,在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q(与B、D不重合),且∠PCQ=30°.
(1)如图,当点P在边AB上时,如果BP=3,求线段PC的长;
(2)当点P在射线BA上时,设,求y关于的函数解析式及定义域;
(3)联结PQ,直线PQ与直线BC交于点E,如果与相似,求线段BP的长.
【答案】(1);(2)();(3)或
【解析】
(1)如图1中,作PH⊥BC于H.解直角三角形求出BH,PH,在Rt△PCH中,由勾股定理即可解决问题.
(2)如图1中,作PH⊥BC于H,连接PQ,设PC交BD于O.证明△POQ∽△BOC,推出∠OPQ=∠OBC=30°=∠PCQ,推出PQ=CQ=y,推出PC=y,在Rt△PHB中,BH=x,PH=x,根据PC2=PH2+CH2,可得结论.
(3)分以下几种情形:①如图2中,若直线QP交直线BC于B点左侧于E.②如图3中,若直线QP交直线BC于C点右侧于E.③如图④中,点P在AB的延长线上,直线PQ与BC的交点E在线段BC上.分别求解即可.
解:(1)如图1中,作PH⊥BC于H.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=4,AD∥BC,
∴∠A+∠ABC=180°,
∵∠A=120°,
∴∠PBH=60°,
∵PB=3,∠PHB=90°,
∴BH=PBcos60°=,PH=PBsin60°=,
∴CH=BC-BH=4-=,
∴PC==.
(2)如图1中,作PH⊥BC于H,连接PQ,设PC交BD于O.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABD=∠CBD=30°,
∵∠PCQ=30°,
∴∠PBO=∠QCO,
∵∠POB=∠QOC,
∴△POB∽△QOC,
∴,
∴,
∵∠POQ=∠BOC,
∴△POQ∽△BOC,
∴∠OPQ=∠OBC=30°=∠PCQ,
∴PQ=CQ=y,
∴PC=y,
在Rt△PHB中,BH=x,PH=x,
∵PC2=PH2+CH2,
∴3y2=(x)2+(4-x)2,
∴y=(0≤x<8).
(3)①如图2中,若直线QP交直线BC于B点左侧于E.
此时∠CQE=120°,
∵∠PBC=60°,
∴△PBC中,不存在角与∠CQE相等,
此时△QCE与△BCP不可能相似.
②如图3中,若直线QP交直线BC于C点右侧于E.
则∠CQE=∠ABC=∠QBC+∠QCP=60°=∠CBP,
∵∠PCB>∠E,
∴只可能∠BCP=∠QCE=75°,
作CF⊥AB于F,则BF=2,CF=2,∠PCF=45°,
∴PF=CF=2,
此时PB=2+2.
③如图4中,若点P在AB的延长线上,直线PQ与BC的交点E在线段BC上,
因为∠EQC=∠PBC=120°,
要使与相似,
只有∠QCE=∠PCE=15°,
此时∠BPC=45°,
过点C作CF⊥AB于F,
可得BF=2,CF=2=PF,
此时PB=PF-BF=2-2.
综上所述,满足条件的PB的值为2+2或2-2.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为庆祝建国70周年,某校举办了爱我中华知识竞赛活动.该校南、北两个校区七年级各有300名学生参加竞赛活动.为了解这两个校区参赛学生成绩情况,从中各随机抽取了10名学生的成绩进行调查,过程如下:
(收集、整理、描述数据)根据随机抽取的10名学生的成绩,制作了如下统计图表:
(说明:成绩90分及以上为优秀,80-89分为良好,60-79分为合格,60分以下为不合格)
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
南校 | 92 | 100 | 86 | 80 | 73 | 98 | 54 | 95 | 98 | 85 |
北校 | 100 | 100 | 94 | 83 | 74 | 86 | 75 | 100 | 73 | 75 |
(分析数据)对上述数据进行分析,分别求出了两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表:
校区 | 平均数(分) | 中位数(分) | 众数(分) |
南校 | 87 | 90.5 | |
北校 | 86 | 100 |
(得出结论)综合上述统计全过程,回答下列问题:
(1)补全表格.
(2)估计北校七年级学生竞赛成绩为优秀的人数.
(3)你认为哪个校区的七年级学生竞赛成绩比较好?说明你的理由.(从两个不同的角度说明推断的合理性)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害,为此交警部门在全区范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动.在活动前和活动后分别随机抽部分使用电瓶车的市民,就骑电瓶车戴安全帽情况(:每次戴、:经常戴、:偶尔戴、:都不戴)进行问卷调查,将相关的数据制成如下统计图表.
活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表
类别 | 人数 |
68 | |
245 | |
510 | |
177 | |
合计 | 1000 |
(1)宣传活动前,在抽取的市民中哪一类别的人数最多?占抽取人数的百分之几?
(2)该区约有37万人使用电瓶车,请估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数;
(3)小明认为,宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为178,比活动前增加了1人,因此交警部门开展的宣传活动没有效果.小明分析数据的方法是否合理?请结合统计图表,谈谈你对交警部门宣传活动的效果的看法.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(问题)用n个2×1矩形,镶嵌一个2×n矩形,有多少种不同的镶嵌方案?(2×n矩形表示矩形的邻边是2和n)
(探究)不妨假设有an种不同的镶嵌方案.为探究an的变化规律,我们采取一般问题特殊化的策略,先从最简单情形入手,再逐次递进,最后猜想得出结论.
探究一:用1个2×1矩形,镶嵌一个2×1矩形,有多少种不同的镶嵌方案?
如图(1),显然只有1种镶嵌方案.所以,a1=1.
探究二:用2个2×1矩形,镶嵌一个2×2矩形,有多少种不同的镶嵌方案?
如图(2),显然只有2种镶嵌方案.所以,a2=2.
探究三:用3个2×1矩形,镶嵌一个2×3矩形,有多少种不同的镶嵌方案?
一类:在探究一每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形,有1种镶嵌方案;
二类:在探究二每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个2×1矩形,有2种镶嵌方案;
如图(3).所以,a3=1+2=3.
探究四:用4个2×1矩形,镶嵌一个2×4矩形,有多少种不同的镶嵌方案?
一类:在探究二每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形,有 种镶嵌方案;
二类:在探究三每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个2×1矩形,有 种镶嵌方案;
所以,a4= .
探究五:用5个2×1矩形,镶嵌一个2×5矩形,有多少种不同的镶嵌方案?
(仿照上述方法,写出探究过程,不用画图)
……
(结论)用n个2×1矩形,镶嵌一个2×n矩形,有多少种不同的镶嵌方案?
(直接写出an与an﹣1,an﹣2的关系式,不写解答过程).
(应用)用10个2×1矩形,镶嵌一个2×10矩形,有 种不同的镶嵌方案.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知一居民楼前方处有一建筑物,小敏在居民楼的顶部处和底部处分别测得建筑物顶部的仰角为和,求居民楼的高度和建筑物的高度(结果取整数).
(参考数据:,)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平行四边形中,,点,分别在边,上,且.
(1)如图1,若,求证:;
(2)如图2,若,且点为的中点,连接交于点,求;
(3)如图3,若,探究线段、、三之间的数量关系,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=AC,BD⊥AC,垂足为E,点F在BD的延长线上,且DF=DC,连接AF、CF.
(1)求证:∠BAC=2∠DAC;
(2)若AF=10,BC=4,求tan∠BAD的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,2分别是某款篮球架的实物图与示意图,已知底座BC=0.60米,底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°,支架AF的长为2.50米,篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米,篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°,求篮框D到地面的距离(精确到0.01米)(参考数据:cos75°≈0.2588,sin75°≈0.9659,tan75°≈3.732,≈1.732,≈1.414)
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com