(本题满分12分)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+(k﹣1)x﹣k与直线y=kx+1交于A,B两点,点A在点B的左侧.
(1)如图1,当k=1时,直接写出A,B两点的坐标;
(2)在(1)的条件下,点P为抛物线上的一个动点,且在直线AB下方,试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)如图2,抛物线y=x2+(k﹣1)x﹣k(k>0)与x轴交于点C、D两点(点C在点D的左侧),在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°?若存在,请求出此时k的值;若不存在,请说明理由.
(1)A(﹣1,0),B(2,3);(2)点P坐标为(,﹣
);(3)k=
.
【解析】
试题分析:(1) 当k=1时,抛物线解析式为y=x2﹣1,直线解析式为y=x+1,然后解方程组即可;
(2) 设P(x,x2﹣1).过点P作PF∥y轴,交直线AB于点F,则F(x,x+1),所以利用S△ABP=S△PFA+S△PFB,
,用含x的代数式表示为S△ABP=﹣x2+x+2,配方或用公式确定顶点坐标即可.(3) 设直线AB:y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F,用k分别表示点E的坐标,点F的坐标,以及点C的坐标,然后在Rt△EOF中,由勾股定理表示出EF的长,假设存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°,则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q,设点N为OC中点,连接NQ,根据条件证明△EQN∽△EOF,然后根据性质对应边成比例,可得关于k的方程,解方程即可.
试题解析:【解析】
(1)当k=1时,抛物线解析式为y=x2﹣1,直线解析式为y=x+1.
联立两个解析式,得:x2﹣1=x+1,
解得:x=﹣1或x=2,
当x=﹣1时,y=x+1=0;当x=2时,y=x+1=3,
∴A(﹣1,0),B(2,3). 4分
(2)设P(x,x2﹣1).
如答图2所示,过点P作PF∥y轴,交直线AB于点F,则F(x,x+1).
∴PF=yF﹣yP=(x+1)﹣(x2﹣1)=﹣x2+x+2.
S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF(xF﹣xA)+PF(xB﹣xF)=PF(xB﹣xA)=PF
∴S△ABP=(﹣x2+x+2)=﹣(x﹣)2+
当x=时,yP=x2﹣1=﹣
.
∴△ABP面积最大值为,此时点P坐标为(
,﹣
). 8分
(3)设直线AB:y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F,
则E(﹣,0),F(0,1),OE=
,OF=1.
在Rt△EOF中,由勾股定理得:EF==
.
令y=x2+(k﹣1)x﹣k=0,即(x+k)(x﹣1)=0,解得:x=﹣k或x=1.
∴C(﹣k,0),OC=k.
假设存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°,如答图3所示,
则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q,根据圆周角定理,此时∠OQC=90°.
设点N为OC中点,连接NQ,则NQ⊥EF,NQ=CN=ON=.
∴EN=OE﹣ON=﹣
.
∵∠NEQ=∠FEO,∠EQN=∠EOF=90°,
∴△EQN∽△EOF,
∴,即:
,
解得:k=±,
∵k>0,
∴k=.
∴存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°,此时k=. 12分
考点:1.二次函数的性质及其应用;2.圆的性质;3.相似三角形的判定与性质.
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(1)求证:四边形AMDN是平行四边形;
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科目:初中数学 来源:2014-2015学年江苏省盐城市盐都区西片九年级下学期第一次月考数学试卷(解析版) 题型:填空题
如图,在中,
、
分别是边
、
的中点,
.现将
沿
折叠,点
落在三角形所在平面内的点为
,则
的度数为 °.
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(2)若AB=4,B为OE的中点,CF⊥AB,垂足为点F,求CF的长;
(3)如图2,连接OD交AC于点G,若=
,求sin∠E的值.
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