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(本题满分12分)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+(k﹣1)x﹣k与直线y=kx+1交于A,B两点,点A在点B的左侧.

(1)如图1,当k=1时,直接写出A,B两点的坐标;

(2)在(1)的条件下,点P为抛物线上的一个动点,且在直线AB下方,试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标;

(3)如图2,抛物线y=x2+(k﹣1)x﹣k(k>0)与x轴交于点C、D两点(点C在点D的左侧),在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°?若存在,请求出此时k的值;若不存在,请说明理由.

(1)A(﹣1,0),B(2,3);(2)点P坐标为(,﹣);(3)k=

【解析】

试题分析:(1) 当k=1时,抛物线解析式为y=x2﹣1,直线解析式为y=x+1,然后解方程组即可;

(2) 设P(x,x2﹣1).过点P作PF∥y轴,交直线AB于点F,则F(x,x+1),所以利用S△ABP=S△PFA+S△PFB,

,用含x的代数式表示为S△ABP=﹣x2+x+2,配方或用公式确定顶点坐标即可.(3) 设直线AB:y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F,用k分别表示点E的坐标,点F的坐标,以及点C的坐标,然后在Rt△EOF中,由勾股定理表示出EF的长,假设存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°,则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q,设点N为OC中点,连接NQ,根据条件证明△EQN∽△EOF,然后根据性质对应边成比例,可得关于k的方程,解方程即可.

试题解析:【解析】
(1)当k=1时,抛物线解析式为y=x2﹣1,直线解析式为y=x+1.

联立两个解析式,得:x2﹣1=x+1,

解得:x=﹣1或x=2,

当x=﹣1时,y=x+1=0;当x=2时,y=x+1=3,

∴A(﹣1,0),B(2,3). 4分

(2)设P(x,x2﹣1).

如答图2所示,过点P作PF∥y轴,交直线AB于点F,则F(x,x+1).

∴PF=yF﹣yP=(x+1)﹣(x2﹣1)=﹣x2+x+2.

S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF(xF﹣xA)+PF(xB﹣xF)=PF(xB﹣xA)=PF

∴S△ABP=(﹣x2+x+2)=﹣(x﹣)2+

当x=时,yP=x2﹣1=﹣

∴△ABP面积最大值为,此时点P坐标为(,﹣). 8分

(3)设直线AB:y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F,

则E(﹣,0),F(0,1),OE=,OF=1.

在Rt△EOF中,由勾股定理得:EF==

令y=x2+(k﹣1)x﹣k=0,即(x+k)(x﹣1)=0,解得:x=﹣k或x=1.

∴C(﹣k,0),OC=k.

假设存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°,如答图3所示,

则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q,根据圆周角定理,此时∠OQC=90°.

设点N为OC中点,连接NQ,则NQ⊥EF,NQ=CN=ON=

∴EN=OE﹣ON=

∵∠NEQ=∠FEO,∠EQN=∠EOF=90°,

∴△EQN∽△EOF,

,即:

解得:k=±

∵k>0,

∴k=

∴存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°,此时k=. 12分

考点:1.二次函数的性质及其应用;2.圆的性质;3.相似三角形的判定与性质.

考点分析: 考点1:二次函数 定义:
一般地,如果(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数(a≠0)中x、y是变量,a,b,c是常数,自变量x 的取值范围是全体实数,b和c可以是任意实数,a是不等于0的实数,因为a=0时,变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数,若b=0,则y=c是一个常数函数。
③二次函数(a≠0)与一元二次方程(a≠0)有密切联系,如果将变量y换成一个常数,那么这个二次函数就是一个一元二次函数。 二次函数的解析式有三种形式:
(1)一般式:(a,b,c是常数,a≠0);
(2)顶点式: (a,h,k是常数,a≠0)
(3)当抛物线与x轴有交点时,即对应二次好方程有实根x1和x2存在时,根据二次三项式的分解因式,二次函数可转化为两根式。如果没有交点,则不能这样表示。

二次函数的一般形式的结构特征:
①函数的关系式是整式;
②自变量的最高次数是2;
③二次项系数不等于零。 二次函数的判定:
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式;
当b=0,c=0时,y=ax2是特殊的二次函数;
判断一个函数是不是二次函数,在关系式是整式的前提下,如果把关系式化简整理(去括号、合并同类项)后,能写成(a≠0)的形式,那么这个函数就是二次函数,否则就不是。 试题属性
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