Question

（2009•青浦区二模）如图，正方形ABCD的边长为8厘米，动点P从点A出发沿AB边由A向B以1厘米/秒的速度匀速移动（点P不与点A、B重合），动点Q从点B出发沿折线BC-CD以2厘米/秒的速度匀速移动，点P、Q同时出发，当点P停止运动，点Q也随之停止．连接AQ，交BD于点E．设点P运动时间为x秒．
（1）当点Q在线段BC上运动时，点P出发多少时间后，∠BEP和∠BEQ相等；
（2）当点Q在线段BC上运动时，求证：△BQE的面积是△APE的面积的2倍；
（3）设△APE的面积为y，试求出y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域．

Answer 1

【答案】分析：（1）当∠BEP和∠BEQ相等时，三角形BPE和BQE全等，那么BP=BQ，可以根据P，Q的速度，用时间表示出BP，BQ的长，进而求出t的值．
（2）因为Q的速度是P的2倍，因此BQ=2AP．过点E作MN⊥BC，垂足为M，交AD于点N，作EH⊥AB，垂足为H．由于∠ABD=∠DBC=45°，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出EH=EM，因此根据三角形的面积公式即可得出三角形BQE的面积是三角形APE面积的2倍．
（3）要分三种情况进行讨论
①当Q在BC上时，求三角形APE的面积关键是求AP边上的高，也就是EH的长，由于EH=EM，可通过求EM得出EH的值，根据相似三角形BEQ和AED可得出关于EM，EN，AD，BQ的比例关系，可用EM表示出EN，进而根据比例关系式得出EM即EH的长，也就能得出关于x，y的函数关系式了．
②当Q与C重合时，可直接求出三角形BEQ的面积，根据（2）的结果求出三角形APE的面积．
③当Q在CD上时，关键还是求AP边上的高，过点E作MH⊥AB，垂足为H，可知MH⊥CD，设垂足为M，那么可参照②求EM的方法求出EH，然后根据三角形的面积公式即可得出y，x的函数关系式．
解答：解：
（1）∵四边形ABCD是正方形．
∴∠ABD=∠DBC．
当∠BEP=∠BEQ时，∠PBE=∠QBE，BE=BE．
∴△PBE≌△QBE．
∴PB=QB．
即8-x=2x．
解得．
即点P出发秒后，∠BEP=∠BEQ．

（2）当点Q在线段BC上运动时，如图1，过点E作MN⊥BC，垂足为M，交AD于点N，作EH⊥AB，垂足为H．∵∠ABD=∠DBC，EH⊥AB，EM⊥BC．
∴EH=EM．
∵BQ=2x，AP=1x．
∴BQ=2AP
∵S_△APE=AP•EH，S_△BQE=BQ•EM=•2AP•EH=AP•EH=2S_△APE．
所以S_△BQE=2S_△APE．

（3）①当0＜x＜4时，点Q在BC边上运动．
∵四边形ABCD是正方形．
∴AD∥BC．
∴MN⊥AD，△BEQ∽△DEA．
∴=．
∴=．
解得EM=．
即EH=．
∴S_△APE=AP•EH=•x•=．
即y=．
②当x=4时，点Q与点C重合．此时y=8．
③当4＜x＜8时，点Q在CD边上运动．如图2，过点E作MH⊥AB，垂足为H，可知MH⊥CD．
设垂足为M．
∵AB∥DC．
∴∠ABE=∠EDQ，∠BAE=∠DQE，
∴△AEB∽△DEQ．
∴=．
∴=．
解得EH=．
∴S_△APE=AP•EH=•x•=．
即y=．
综上所述，y关于x的函数解析式为y=（0＜x＜4）；y=8（x=4）；y=（4＜x＜8）．
点评：本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质等综合知识，根据相似三角形得出线段的比例关系从而表示出三角形APE的高是解题的关键．